Ecuación plana a partir de 3 puntos
Formas (cartesianas o normales) de la ecuación de un plano dado el vector normal y un punto en él.Consideremos primero la ecuación de una recta en forma cartesiana y reescribámosla en forma vectorial en dos dimensiones,
Un vector normal ⃑-⃑ a una recta o a un plano es un vector que es perpendicular a la recta o al plano. En otras palabras, el vector normal es perpendicular a cualquier vector ⃑ que sea paralelo a la
++-(++)=0.Esto se puede reordenar para dar la ecuación del plano en forma escalar.Definición: Forma escalar de la ecuación de un planoLa forma escalar de la ecuación de un plano en ℝ que contiene los vectores puntuales
Ejemplo 2. Hallar la ecuación general de un plano Hallar la ecuación general de un plano que pasa por un punto dado y es paralelo a dos vectores dadosHallar la ecuación general del plano que pasa por el punto (5,1,-1) y es paralelo
a los dos vectores (9,7,-8) y (-2,2,-1).RespuestaEn este ejemplo, queremos determinar la ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a dos vectores dados.Recordemos que la forma escalar de la ecuación de un plano con un vector normal ⃑=(,,) que contiene el punto (,,) es
Ecuación general del plano
Cualquier superficie plana, como una pared, una mesa o un trozo de cartón rígido, puede considerarse que representa una parte de un plano. Consideremos un trozo de cartón con un punto \(P\) marcado en él. Podemos coger un clavo y clavarlo en el cartón en \(P\) de forma que el clavo sea perpendicular al cartón; véase la figura 10.54.
Este clavo sirve de “asa” para el cartón. Al mover el cartón, \(P\) se desplaza a diferentes lugares del espacio. Al inclinar el clavo (pero manteniendo \(P\) fijo) se inclina el cartón. Tanto el movimiento como la inclinación del cartón definen un plano diferente en el espacio. De hecho, podemos definir un plano por: 1) la ubicación de \(P\) en el espacio, y 2) la dirección del clavo.
En el apartado anterior se ha demostrado que se puede definir una recta a partir de un punto de la misma y de la dirección de la recta (normalmente dada por un vector). Podemos hacer una afirmación similar sobre los planos: podemos definir un plano en el espacio dado un punto en el plano y la dirección a la que el plano “se enfrenta” (usando la descripción anterior, la dirección del clavo). Una vez más, la información sobre la dirección será proporcionada por un vector, llamado vector normal, que es ortogonal al plano.
Cómo encontrar la ecuación de un plano dados un punto y una recta perpendicular
Ya estamos familiarizados con la escritura de ecuaciones que describen una recta en dos dimensiones. Para escribir una ecuación de una recta, debemos conocer dos puntos de la misma, o bien conocer la dirección de la recta y al menos un punto por el que pasa la recta. En dos dimensiones, utilizamos el concepto de pendiente para describir la orientación, o dirección, de una recta. En tres dimensiones, describimos la dirección de una recta mediante un vector paralelo a la misma. En esta sección examinaremos cómo utilizar las ecuaciones para describir líneas y planos en el espacio.
Exploremos primero lo que significa que dos vectores sean paralelos. Recordemos que los vectores paralelos deben tener direcciones iguales u opuestas. Si dos vectores distintos de cero, y son paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, tal que Si y tienen la misma dirección, simplemente elija Si y tienen direcciones opuestas, elija Tenga en cuenta que la inversa también es válida. Si para algún escalar entonces o bien y tienen la misma dirección o direcciones opuestas por lo que y son paralelos. Por lo tanto, dos vectores distintos de cero y son paralelos si y sólo si para algún escalar Por convención, se considera que el vector cero es paralelo a todos los vectores.
Calculadora de la ecuación del plano dado un punto y un vector normal
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En la primera sección de este capítulo vimos un par de ecuaciones de planos. Sin embargo, ninguna de esas ecuaciones tenía tres variables en ellas y eran realmente extensiones de gráficas que podíamos ver en dos dimensiones. Nos gustaría tener una ecuación más general para los planos.
Por lo tanto, vamos a empezar por suponer que sabemos un punto que está en el plano, \ ({P_0} = \left( {{x_0},{y_0},{z_0} \right)\). Supongamos también que tenemos un vector que es ortogonal (perpendicular) al plano, \(\vec n = \left\langle {a,b,c} \right\rangle \). Este vector se llama vector normal. Ahora, supongamos que \N(P = \left( {x,y,z} \right)\Nes un punto cualquiera del plano. Por último, ya que vamos a estar trabajando con los vectores inicialmente vamos a dejar que \ ~(\overrightarrow {{r_0}}) y \ ~(\vec r\) son los vectores de posición para P0