Ecuación diferencial lineal de segundo orden
Hasta ahora sólo hemos trabajado con ecuaciones diferenciales de primer orden. El siguiente paso es investigar las ecuaciones diferenciales de segundo orden. La ecuación diferencial general de segundo orden tiene la forma
La solución general de dicha ecuación es muy difícil de identificar. En su lugar, nos centraremos en casos especiales. En particular, si la ecuación diferencial es lineal, entonces puede escribirse de la forma
Llamamos homogénea a una ecuación diferencial lineal de segundo orden si \(g (t) = 0\). En esta sección investigaremos las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden homogéneas con coeficientes constantes, que pueden escribirse de la forma
la ecuación característica de esta ecuación diferencial. Nuestros ejemplos demostraron cómo resolverla si tenemos dos raíces reales distintas. Para raíces complejas o repetidas, se necesita una estrategia algo diferente; discutiremos estos otros casos más adelante. Para raíces reales distintas podemos utilizar la fórmula cuadrática para obtener una solución general
Ejemplos de ecuaciones diferenciales de coeficiente constante
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
De hecho, rara vez veremos ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden de coeficiente no constante. En el caso de que asumamos coeficientes constantes utilizaremos la siguiente ecuación diferencial.
Cuando sea posible, utilizaremos \ (\eqref{eq:eq1}) sólo para hacer el punto de que ciertos hechos, teoremas, propiedades, y / o técnicas se pueden utilizar con la forma no constante. Sin embargo, la mayor parte del tiempo utilizaremos \(\eqref{eq:eq2}\) ya que puede ser bastante difícil resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden de coeficiente no constante.
Inicialmente nos facilitaremos la vida viendo las ecuaciones diferenciales con \(g(t) = 0\). Cuando \(g(t) = 0\) llamamos a la ecuación diferencial homogénea y cuando \(g\left( t \right) \ne 0\) llamamos a la ecuación diferencial no homogénea.
Calculadora de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
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Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes ejemplos pdf
donde \(F_i(x)\) y \(G(x)\) son funciones de \(x\text{.}\) En caso contrario, decimos que la ecuación diferencial es no lineal. Por otra parte, si el coeficiente principal \(F_n(x)\) es distinto de cero, se dice que la ecuación es de \(n\)-orden. Volvamos a nuestra lista de ecuaciones diferenciales y añadamos si es lineal o no:
donde \(F_i(x)\) y \(G(x)\) son funciones de \(x\text{,}\) se dice que la ecuación diferencial es homogénea si \(G(x)=0\) y no homogénea en caso contrario.Nota: Una implicación de esta definición es que \(y=0\) es una solución constante para una ecuación diferencial lineal homogénea, pero no para el caso no homogéneo.
donde \(G(x)\) es una función de \(x\text{,}) se dice que la ecuación diferencial tiene coeficientes constantes si \(F_i(x)\) son constantes para todo \text{,})Como ejemplos, identificamos todas las ecuaciones diferenciales lineales de nuestra lista que tienen coeficientes constantes:
es una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden con coeficientes constantes, donde \(t\) es el tiempo, \(k\) es la constante de proporcionalidad, y \(M\) es la temperatura ambiente.Ejercicios para el apartado 5.1.