Representación paramétrica de la línea recta
En matemáticas, una ecuación paramétrica define un grupo de cantidades como funciones de una o más variables independientes llamadas parámetros[1]. Las ecuaciones paramétricas se utilizan comúnmente para expresar las coordenadas de los puntos que componen un objeto geométrico como una curva o una superficie, en cuyo caso las ecuaciones se llaman colectivamente una representación paramétrica o parametrización (alternativamente deletreada como parametrización) del objeto[1][2][3].
forman una representación paramétrica del círculo unitario, donde t es el parámetro: Un punto (x, y) está en el círculo unitario si y sólo si hay un valor de t tal que estas dos ecuaciones generan ese punto. A veces las ecuaciones paramétricas para las variables escalares de salida individuales se combinan en una única ecuación paramétrica en vectores:
Además de las curvas y superficies, las ecuaciones paramétricas pueden describir colectores y variedades algebraicas de mayor dimensión, siendo el número de parámetros igual a la dimensión del colector o variedad, y el número de ecuaciones igual a la dimensión del espacio en el que se considera el colector o variedad (para las curvas la dimensión es uno y se utiliza un parámetro, para las superficies dimensión dos y dos parámetros, etc.).
Convertir un vector en una ecuación lineal
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección tenemos que echar un vistazo a la ecuación de una línea en \ ({\mathbb{R}^3}\). Como vimos en la sección anterior la ecuación \ (y = mx + b\) no describe una línea en \({\mathbb{R}^3}), en su lugar describe un plano. Sin embargo, esto no significa que no podamos escribir una ecuación para una recta en el espacio tridimensional. Sólo vamos a necesitar una nueva forma de escribir la ecuación de una curva.
Así que, antes de entrar en las ecuaciones de las rectas, tenemos que ver brevemente las funciones vectoriales. Más adelante profundizaremos en las funciones vectoriales. En este punto, lo único que nos debe preocupar son las cuestiones notacionales y cómo se pueden utilizar para dar la ecuación de una curva.
Encontrar ecuaciones paramétricas
Para empezar, consideremos el caso \(n=1\) por lo que tenemos \(\mathbb{R}^{1}=\mathbb{R}\). Aquí sólo hay una recta que es la conocida recta numérica, es decir, \(\mathbb{R}\) misma. Por lo tanto, no es necesario explorar el caso de \(n=1\) más.
Consideremos ahora el caso en que \(n=2\), es decir \(\mathbb{R}^2\). Sean \(P\) y \(P_0\) dos puntos diferentes en \(\mathbb{R}^{2}\) que están contenidos en una línea \(L\). Sean \(\vec{p}\) y \(\vec{p_0}\) los vectores de posición de los puntos \(P\) y \(P_0\) respectivamente. Supongamos que \(Q\) es un punto arbitrario en \(L\). Consideremos el siguiente diagrama.
Nuestro objetivo es poder definir \(Q\) en términos de \(P\) y \(P_0\). Consideremos el vector (\overrightarrow{P_0P} = \vec{p} – \vec{p_0}\) que tiene su cola en \(P_0\) y punto en \(P\). Si sumamos \(\vec{p} – \vec{p_0}) al vector de posición \(\vec{p_0}) para \(P_0), la suma sería un vector con su punto en \(P\). En otras palabras, \[\vec{p} = \vec{p_0} + (\vec{p} – \vec{p_0})\numérico \].
Ecuación cartesiana a ecuación paramétrica
El conjunto de puntos \((x,y,z)\Nque obedecen a \N(x+y+z=2\N) forman un plano. El conjunto de puntos ((x,y,z)\Nque obedecen a \N(x-y=0\N) forman un segundo plano. El conjunto de puntos \((x,y,z)\Nque obedecen tanto a \N(x+y+z=2\N) como a \N(x-y=0\N) se encuentran en la intersección de estos dos planos y por tanto forman una recta. Vamos a encontrar las ecuaciones paramétricas de esa recta.
Para dibujar \(x+y+z=2\) observamos que si dos de \(x,y,z\) son cero, entonces el tercero es \(2\text{.}) Así que todo \((0,0,2)\text{.}) \El plano \((0,2,0)\Ncontiene todo el eje \Nde la z, ya que \N(0,0,z)\Nobedece a \N(x+y+z=2\Ntexto{.}) para toda \Nla z. Aquí están los bocetos separados de (partes de) los dos planos.
Método 1. Cada punto de la recta tiene un valor diferente de \(z\text{.}\} Utilizaremos \(z\) como parámetro. (También podríamos utilizar \(x\) o \(y\text{.}\}) No hay ninguna ley que nos obliga a utilizar el nombre del parámetro \(t\text{,}\) pero eso es lo que hemos hecho hasta ahora, por lo tanto, establecer \(t=z\text{.}\) Si \((x,y,z)\Nestá en la línea entonces \(z=t\) y