Convertir el plano de cartesiano a vectorial
La forma cartesiana ayuda a representar entidades geométricas en el plano cartesiano. Un punto, una recta o un plano pueden representarse fácilmente en un plano tridimensional, a través del eje x, el eje y y el eje z, en forma cartesiana. La forma cartesiana de representación de un punto es (x, y, z), la recta es (x – x1)/a = (y – y1)/b = (z – z1)/c, y el plano es ax + by + cz = d.
La forma cartesiana es útil para representar las entidades geométricas como expresiones algebraicas en la geometría tridimensional. Conozcamos más sobre la conversión de la forma cartesiana a la forma vectorial, la diferencia entre la forma cartesiana y la forma vectorial, con la ayuda de ejemplos, preguntas frecuentes.
La forma cartesiana ayuda a representar un punto, una línea o un plano en un plano bidimensional o tridimensional. La forma cartesiana se representa con respecto al sistema cartesiano tridimensional y es con referencia al eje x, eje y y eje z respectivamente. La forma más sencilla de la forma cartesiana de la ecuación de una recta es La forma vectorial del vector de posición del punto A en el plano cartesiano tridimensional es \(\vec A = x\hat i + y\hat j + z\hat k\), que también se representa en forma cartesiana como un punto A(x, y, z).
Encontrar la ecuación cartesiana del plano
Tenemos un plano en forma cartesiana y queremos transformarlo a la forma normal . Para ello necesitamos encontrar los vectores y . El vector es la normal (apunta fuera del plano y es perpendicular a él) y se obtiene de la forma cartesiana a partir de , y : . Ahora tenemos que encontrar cuál es un punto del plano. Hay infinitos puntos que podríamos elegir y sólo tenemos que encontrar una solución cualquiera para , , y . Si ponemos todos menos y a cero y dividimos por , obtenemos el punto . Ahora podemos representar el plano en forma normal:
Nos dan un plano en forma normal y queremos transformarlo a la forma paramétrica . Se puede dar el rodeo de transformar a la forma cartesiana primero como se muestra arriba que es fácil porque la transformación entre la forma normal y la cartesiana es fácil. Si quieres transformarlos directamente, hay dos maneras: puedes encontrar dos puntos en el plano (valores que resuelven la ecuación de la forma normal) y usarlos para abarcar el plano (vectores y ). Otra posibilidad es crear un conjunto de ecuaciones lineales a partir de las siguientes condiciones:
Convertir un vector en una ecuación lineal
En este explicador, aprenderemos a encontrar las formas cartesiana y vectorial de la ecuación de una recta en el espacio.Cuando estamos considerando ecuaciones en el espacio, tenemos coordenadas en tres dimensiones, como (,,), en lugar de en dos dimensiones como (,).En la forma vectorial, consideramos que una línea está definida por cualquier punto de la línea y una dirección. Para encontrar una ecuación que represente
vector del punto inicial, , del vector de posición del punto terminal, . Para ello, restamos cada uno de los componentes -, – y – del vector de posición de del vector de posición de . Veamos un ejemplo de cómo podemos hacerlo.Ejemplo 2: Hallar el vector dirección de una recta dados dos puntosHallar el vector dirección de la recta que pasa por (1,-2,7) y (4,-1,3).Respuesta El vector dirección de una recta es un vector no nulo paralelo a la recta. Para encontrar el vector de dirección, ⃑,
(3,1,-4).Como nota al margen, no se nos dio específicamente el vector de dirección como ; por lo tanto, el vector =(-3,-1,4) también habría sido un vector de dirección válido. De hecho, cualquier múltiplo no nulo de cualquiera de estos vectores de dirección sería correcto.A menudo necesitamos encontrar el punto medio de una línea que une dos puntos en el espacio. Podemos hacerlo mediante el mismo proceso
Ecuación vectorial de una línea
También podemos describir un vector plano en términos de dirección y magnitud del vector. La magnitud de un vector es su longitud (también llamada norma) y la dirección de un vector es el ángulo entre el eje horizontal y el vector.
Para normalizar un vector, hay que encontrar su norma utilizando el teorema de Pitágoras. La norma de un vector es su magnitud: la raíz cuadrada de la suma de las coordenadas al cuadrado de su vector. Entonces divide cada coordenada del vector inicial por esta norma. También puedes utilizar la calculadora de la magnitud del vector para encontrar la norma, que es la versión más sencilla de esta calculadora de vectores.
El producto punto (también conocido como producto escalar) es una operación denotada por el operador – que toma dos vectores y devuelve un número. Para dos vectores a y b, su producto puntual es el producto de sus magnitudes (normas) |a| y |b| y el coseno del ángulo θ entre ellos:
La proyección de b sobre a es el vector que es la mejor aproximación de b entre los vectores que se obtienen estirando y apretando el vector a. Por lo tanto, para encontrar la proyección, sólo hay que conocer el factor de estiramiento/apretamiento adecuado.