Expresiones racionales
Una ECUACIÓN RADICAL es una ecuación que contiene un radical (una raíz: raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz cuarta, etc.) con una variable en el radicando (dentro del radical). Observa que algunas tienen raíces cuadradas, otras raíces cúbicas y otras raíces cuartas; la mayoría tienen un solo radical, pero algunas tienen más. Para resolver estas ecuaciones debes seguir estos cuatro pasos: Cada una de las siguientes es una ecuación radical. Las primeras se han resuelto como ejemplos. La solución es 4,2. En esta segunda, fíjate en que ambos lados de la ecuación se han elevado a la quinta potencia.La solución es -7,3. En esta la variable aparece dos veces. Observa que después de aislar el radical ambos lados de la ecuación (los lados enteros) se elevan a la segunda potencia. Fíjate también que al final una de las soluciones NO SE COMPROBÓ, es una solución extraña. La solución es -1.Se dan las soluciones de las ecuaciones 4 a 8. Aquí hay un video de cómo resolver las ecuaciones 4, 5 y 6. Tu tarea es resolver las ecuaciones 9 a 15.
Funciones radicales
como se ha expuesto anteriormente, por lo que se trata, de hecho, de una solución extraña.Veamos ahora algunos ejemplos más formales.Ejemplo 1: Resolver una ecuación simple que implica una raíz cuadradaResolver √49=.Respuesta Con esta pregunta, tenemos que recordar que 7=49.Podemos ver que la raíz cuadrada de 49 es 7 y que nuestra solución es
el descubrimiento de soluciones extrañas.Ejemplo 3: Identificar un error en un cálculo para resolver una ecuación radicalConsidere el siguiente argumento para resolver -3=√:¿Qué error se cometió? Respuesta Con esta pregunta, si seguimos los pasos de elaboración, la lógica de elevar al cuadrado tanto
para las soluciones extrañas.Terminemos viendo otros tres ejemplos.Ejemplo 4: Resolver una ecuación que implica raíces cuadradas dado un método prescritoPara resolver la ecuación +√=6, Adán comenzó
Exponentes racionales
En general, resolvemos las ecuaciones aislando la variable; es decir, manipulamos la ecuación para terminar con la variable a un lado del signo “igual”, con un valor numérico al otro lado. El proceso general de aislamiento es, en cierto sentido, deshacer lo que se había hecho a la variable en la ecuación original.
Cuando tenemos una variable dentro de una raíz cuadrada, deshacemos la raíz haciendo lo contrario; es decir, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación. Por ejemplo, dada la ecuación , resolveríamos elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación:
Al resolver una ecuación, debemos hacer lo mismo a ambos lados de la ecuación; en particular, no hacemos cosas a cada término de la ecuación. En el primer ejemplo anterior, al resolver “x + 2 = 5”, he restado un 2 a cada lado, no a los tres términos.
Al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, termino con una ecuación verdadera. Así es como se supone que funcionan las matemáticas. Pero si intento elevar al cuadrado los términos del lado izquierdo del enunciado original anterior, no terminaré con el valor correcto.
Ecuación racional
Como es habitual, a la hora de resolver estas ecuaciones, lo que hacemos a un lado de una ecuación debemos hacerlo también al otro. Una vez aislado el radical, nuestra estrategia será elevar ambos lados de la ecuación a la potencia del índice. Esto eliminará el radical.
Resolver ecuaciones radicales que contienen un índice par elevando ambos lados a la potencia del índice puede introducir una solución algebraica que no sería una solución a la ecuación radical original. De nuevo, llamamos a esto una solución extraña, como hicimos cuando resolvimos ecuaciones racionales.
\(\begin{array}{r}{\sqrt{5 n-4}-9=0} \\ {\sqrt{5(\color{red}{17}\color{black}{)}-4}-9 \stackrel{?}{=} 0. 0} {cuadrado81}-9 {rela de pila}=} 0} \\ {9-9=0} \\ (0=0).
A veces una ecuación contiene exponentes racionales en lugar de un radical. Usamos las mismas técnicas para resolver la ecuación que cuando tenemos un radical. Elevamos cada lado de la ecuación a la potencia del denominador del exponente racional. Puesto que \(\left(a^{m}\right)^{{n}}=a^{m \cdot n}\), tenemos por ejemplo,