Ecuación de la elipse vertical
Las secciones cónicas también se pueden describir mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo veremos que la gráfica de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos [latex]\left(x,y\right)[/latex] de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos) de la elipse.
Podemos dibujar una elipse con una cartulina, dos chinchetas, un lápiz y una cuerda. Coloca las chinchetas en la cartulina para formar los focos de la elipse. Corta un trozo de cuerda más largo que la distancia entre las dos chinchetas (la longitud de la cuerda representa la constante de la definición). Pega cada extremo de la cuerda a la cartulina y traza una curva con un lápiz tensado contra la cuerda. El resultado es una elipse.
Derivación de la ecuación de la elipse
Una elipseEs el conjunto de puntos de un plano cuyas distancias a dos puntos fijos tienen una suma que es igual a una constante positiva. es el conjunto de puntos de un plano cuyas distancias a dos puntos fijos, llamados focos, tienen una suma que es igual a una constante positiva. En otras palabras, si los puntos F1 y F2 son los focos (plural de foco) y d es una constante positiva dada, entonces (x,y) es un punto de la elipse si d=d1+d2 como se muestra a continuación:
Además, una elipse puede estar formada por la intersección de un cono con un plano oblicuo que no es paralelo al lado del cono y no interseca la base del mismo. Los puntos de esta forma ovalada donde la distancia entre ellos es máxima se denominan vérticesPuntos de la elipse que marcan los puntos extremos del eje mayor. y definen el eje mayorEl segmento de línea que pasa por el centro de una elipse definido por dos puntos de la elipse donde la distancia entre ellos es máxima.. El centro de una elipse es el punto medio entre los vértices. El eje menorEs el segmento de línea que pasa por el centro de una elipse definido por dos puntos de la elipse donde la distancia entre ellos es mínima. es el segmento de línea que pasa por el centro de una elipse definido por dos puntos de la elipse donde la distancia entre ellos es mínima. Los puntos extremos del eje menor se llaman covérticesPuntos de la elipse que marcan los puntos extremos del eje menor..
Coordenadas xy de la elipse
El eje mayor está siempre asociado a la variable a y es igual a 2a. (a es la distancia desde el punto central a la elipse a lo largo del eje mayor, por lo que hay que duplicarla para obtener la longitud de todo el eje).
El eje menor está siempre asociado a b y es igual a 2b. (b es la distancia desde el punto central a la elipse a lo largo del eje menor, por lo que, una vez más, tienes que duplicarlo para obtener la longitud de todo el eje).
Te darás cuenta de que hay dos patrones diferentes: uno para una elipse horizontal y otro para una vertical. El denominador que sea mayor determina qué variable es a (porque a siempre es mayor, ya que es el eje mayor). Si está bajo la y, entonces es vertical.
Empecemos por encontrar el punto central. Recuerda que como hay un negativo en el patrón, debemos tomar el opuesto de cada uno, igual que hicimos con los círculos. h es 2 (opuesto a -2) y k es 1 (opuesto a -1). Por tanto, nuestro punto central es (2, 1)
Ecuación de la elipse
¿Se imagina estar en un extremo de una gran sala y poder oír un susurro de una persona situada en el otro extremo? La Sala Nacional de Estatuas de Washington, D.C., que se muestra en la figura \(\PageIndex{1}\N), es una sala de este tipo. Se trata de una sala de forma ovalada que se denomina cámara de susurros porque su forma hace posible que el sonido se desplace por las paredes. En esta sección, investigaremos la forma de esta sala y sus aplicaciones en el mundo real, incluida la distancia a la que pueden situarse dos personas en la Sala de las Estatuas y seguir oyéndose susurrar.
Una sección cónica, o cónica, es la forma resultante de la intersección de un cono circular recto con un plano. El ángulo de intersección del plano con el cono determina la forma, como se muestra en la figura (índice de página 2).
Las secciones cónicas también pueden describirse mediante un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Más adelante en este capítulo, veremos que la gráfica de cualquier ecuación cuadrática en dos variables es una sección cónica. Los signos de las ecuaciones y los coeficientes de los términos variables determinan la forma. Esta sección se centra en las cuatro variaciones de la forma estándar de la ecuación de la elipse. Una elipse es el conjunto de todos los puntos \((x,y)\Nde un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante. Cada punto fijo se llama foco (plural: focos).