Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales
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En matemáticas, la reducción se refiere a la reescritura de una expresión en una forma más simple. Por ejemplo, el proceso de reescribir una fracción en una con el menor denominador entero posible (manteniendo el numerador como un número entero) se llama “reducir una fracción”. Reescribir una expresión radical (o “raíz”) con el menor número entero posible bajo el símbolo radical se llama “reducir un radical”. La minimización del número de radicales que aparecen debajo de otros radicales en una expresión se denomina negar radicales.
En álgebra lineal, la reducción se refiere a la aplicación de reglas sencillas a una serie de ecuaciones o matrices para cambiarlas a una forma más simple. En el caso de las matrices, el proceso consiste en manipular las filas o las columnas de la matriz, por lo que suele denominarse reducción de filas o reducción de columnas, respectivamente. A menudo, el objetivo de la reducción es transformar una matriz en su “forma escalonada reducida por filas” o “forma escalonada por filas”; éste es el objetivo de la eliminación gaussiana.
Transformar en sistema de ecuaciones de primer orden
Algunas ecuaciones de segundo orden pueden reducirse a ecuaciones de primer orden, lo que las hace susceptibles de los métodos sencillos de resolución de ecuaciones de primer orden. A continuación se presentan tres tipos particulares de tales ecuaciones de segundo orden:
La característica que las define es ésta: La variable dependiente, y, no aparece explícitamente en la ecuación. Este tipo de ecuación de segundo orden se reduce fácilmente a una ecuación de primer orden mediante la transformación
Refiriéndonos al Teorema B, observe que esta solución implica que y = c 1 e – x + c 2 es la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y que y = ½ x 2 – x es una solución particular de la ecuación no homogénea. (Esta ecuación diferencial particular también podría haberse resuelto aplicando el método de resolución de ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes).
Aunque esta ecuación es no lineal [debido al término ( y′) 2; ni y ni ninguna de sus derivadas pueden elevarse a ninguna potencia (que no sea 1) en una ecuación lineal], las sustituciones y′ = w e y″ = w′ seguirán reduciendo esto a una ecuación de primer orden, ya que la variable y no aparece explícitamente. La ecuación diferencial se transforma en
Ecuación diferencial lineal de segundo orden
ResumenSe consideran las ecuaciones diferenciales algebraicas de primer orden. Se da una condición necesaria para que una ecuación diferencial algebraica de primer orden tenga una solución general racional: el género algebraico de la ecuación debe ser cero. Combinando con las condiciones de Fuchs para las ecuaciones diferenciales algebraicas sin punto crítico móvil, se da un algoritmo para el cálculo de las soluciones generales racionales de estas ecuaciones si existen bajo el supuesto de que se proporciona una parametrización racional. Se basa en una reducción algorítmica de las ecuaciones diferenciales algebraicas de primer orden con género algebraico cero y sin punto crítico móvil a las ecuaciones clásicas de Riccati.Palabras clave
Solución homogénea y particular
Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es un grupo de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias ecuaciones, pero no es necesario que estén en todas ellas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar todas las incógnitas entre sí. Por ejemplo,
No siempre hay una solución e incluso puede haber un número infinito de soluciones. Si sólo hay una solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior), se dice que el sistema es un sistema dependiente consistente. No hablaremos de otros tipos de sistemas.
Para resolver un sistema dependiente consistente, necesitamos al menos el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. En este apartado resolveremos sistemas lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas con los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de primer grado (una ecuación lineal).