Problemas de sistemas de ecuaciones de 3 variables
Juan recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4% de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, el objetivo principal es eliminar una variable cada vez para lograr la sustitución por la espalda. Una solución a un sistema de tres ecuaciones en tres variables [latex]\left(x,y,z\right),\text{}[/latex] se llama un triple ordenado.
Ejercicios de descomposición de fracciones parciales
Este es el tercero de nuestra serie de artículos breves en los que se tratan temas importantes para los técnicos en electrónica y electromecánica y para los estudiantes de técnico que se preparan para el mercado laboral actual. En esta serie, discutiremos algunas habilidades y temas cotidianos para los técnicos en ejercicio, así como algunas áreas que han sido identificadas como “difíciles de entender” por nuestros estudiantes de técnico mientras realizan análisis de circuitos generales. Los temas de discusión incluirán técnicas de reducción de circuitos, respuestas transitorias, así como áreas de dificultad cuando se trabaja con teoremas de redes lineales de corriente continua.
Muchos técnicos encuentran dificultades para resolver ecuaciones de nodos o bucles que contienen múltiples cantidades desconocidas. En esta tercera entrega de la Serie de Técnicos en Práctica, revisaremos un medio para resolver tales ecuaciones para obtener las corrientes de bucle o los voltajes de nodo al realizar el análisis de la red de CC lineal. Los dos métodos de nivel técnico para resolver ecuaciones simultáneas con múltiples incógnitas que se utilizan cuando se trata de dos o tres ecuaciones son la “sustitución” y la “eliminación”. Para resolver un número determinado de incógnitas, requerimos que se proporcione el mismo número de ecuaciones. Por ejemplo, necesitaríamos dos ecuaciones para resolver dos incógnitas. Para resolver tres incógnitas se necesitan tres ecuaciones, y así sucesivamente.
Ecuaciones lineales en tres variables
Juan recibió una herencia de 12.000 euros que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4% de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7% de interés anual. Juan invirtió 4.000 euros más en fondos municipales que en bonos municipales. El primer año ganó 670 euros en intereses. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación gaussiana, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no hay un orden definitivo en el que se deben realizar las operaciones, sí hay pautas específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden hacer. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. El objetivo es eliminar una variable cada vez para conseguir la forma triangular superior, que es la forma ideal para un sistema de tres por tres, ya que permite una sustitución posterior directa para encontrar una solución que llamamos triple ordenada. Un sistema en forma triangular superior tiene el siguiente aspecto:
Hoja de ejercicios de eliminación gaussiana
Las aplicaciones del mundo real se modelan a menudo utilizando más de una variable y más de una ecuación. En esta sección, estudiaremos sistemas lineales formados por tres ecuaciones lineales con tres variables cada una. Por ejemplo
\N – (\N – a la izquierda \N – a la izquierda \N – a la izquierda \N – a la izquierda \N – a la izquierda \N – a la izquierda { 3 x + 2 y – z = – 7 } & { \color{Cerulean} { (1) } } \\ { 6 x – y + 3 z = – 4 } & { \color{Cerulean} { (2) } } \\ { x + 10 y – 2 z = 2 } & { \color{Cerulean} { (3) } } \nd{array} \(derecha)
Una solución a un sistema lineal de este tipo es una triple ordenada19 \((x, y, z)\Nque resuelve todas las ecuaciones. En este caso, \((-2, 1, 3)\Nes la única solución. Para comprobar que un triple ordenado es una solución, sustituya los valores correspondientes de \(x\)-, \(y\)-, y \(z\)- y luego simplifique para ver si obtiene una declaración verdadera de las tres ecuaciones.
\N – (\N – empezar{array} { r } { {texto} {Ecuación} \color{Cerulean}{( 1 ) :} } \\ { 3 x + 2 y + z = – 7 } \\ 3 ( \color{Cerulean}{- 2}\color{Negro}{ )} + 2 ( \color{Cerulean}{1}\color{Negro}{ )} – ( \color{Cerulean}{3}\color{Negro}{ )} = – 7 } \\ { – 6 + 2 – 3 = – 7 } \\ { { 7 = – 7\:\:\color{Cerulean}{✓} } \nd{array}\}