Solución particular de una ecuación diferencial de orden superior
La mayor parte de la teoría que conozco (y que he encontrado, después de una importante búsqueda) sobre ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior (de tercer orden en adelante) supone coeficientes constantes: es decir, se supone que la ecuación es de la forma
para las funciones $\alpha, \beta, \gamma$ obtenidas por sustitución en la ED original. Pero no estoy seguro de que esto produzca todas las soluciones – tendré que demostrar que cada solución es de la forma mencionada: Siento que tengo un argumento intuitivo para esto que parece funcionar, pero es difícil hacerlo lo suficientemente riguroso, además de que temo contraejemplos patológicos.
Como he dicho, he intentado buscar teoría general sobre esto, pero no he encontrado este tratamiento, ni ningún método general para el caso en que $a, \cdots , d$ sean polinomios (y sus análogos para ED homogéneas de orden superior con coeficientes polinómicos – quizás no estoy buscando con la terminología adecuada; no estoy especializado en ecuaciones diferenciales). Así que, además de la pregunta anterior (sobre cómo encontrar la solución general en mi caso), también quería saber de cualquier referencia que proporcione dicho tratamiento. Agradecería mucho cualquier sugerencia o referencia. Gracias.
Calculadora de coeficientes indeterminados para ecuaciones de orden superior
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Una de las principales ventajas de este método es que reduce el problema a un problema de álgebra. El álgebra puede ser complicada en ocasiones, pero para la mayoría de los problemas no será terriblemente difícil. Otra cosa buena de este método es que la solución complementaria no se requerirá explícitamente, aunque como veremos el conocimiento de la solución complementaria se necesitará en algunos casos y así lo encontraremos generalmente también.
Este método tiene dos desventajas. En primer lugar, sólo funcionará para una clase bastante pequeña de \(g(t)\Nde. La clase de \(g(t)\)’s para la que el método funciona, incluye algunas de las funciones más comunes, sin embargo, hay muchas funciones por ahí para que los coeficientes indeterminados simplemente no funcionará. En segundo lugar, generalmente sólo es útil para ecuaciones diferenciales de coeficiente constante.
Calculadora del método de los coeficientes indeterminados
A partir del teorema 9.1.5, la solución general de la ecuación \ref{c:9.3.1} es \(y=y_p+y_c\), donde \(y_p\) es una solución particular de la ecuación \ref{c:9.3.1} y \(y_c\) es la solución general de la ecuación complementaria
En el apartado 9.2 aprendimos a hallar \N(y_c\). Aquí aprenderemos a encontrar \(y_p\) cuando la función de forzamiento tiene la forma indicada anteriormente. El procedimiento que utilizamos es una generalización del método que utilizamos en las secciones 5.4 y 5.5, y se llama de nuevo método de coeficientes indeterminados. Como las ideas subyacentes son las mismas que las de estas secciones, haremos una presentación informal basada en ejemplos.
Comparando los coeficientes de \(x\cos x\), \(x\sin x\), \(\cos x\), y \(\sin x\) aquí con los coeficientes correspondientes en la Ecuación \ref{eq:9.3.8} muestra que \(u_p\) es una solución de la Ecuación \ref{eq:9.3.8} si
\u_p’ =&[A_0+(2A_1+B_0)x+B_1x^2]cos x+[B_0+(2B_1-A_0)x-A_1x^2]\Nsin x,\_p’ =&[2A_1+2B_0-(A_0-4B_1)x-A_1x^2]\cos x\&+ [2B_1-2A_0-(B_0+4A_1)x-B_1x^2]\Nsin x, u_p” =& -[3A_0-6B_1+(6A_1+B_0)x+B_1x^2]\cos x \\&-[3B_0+6A_1+(6B_1-A_0)x-A_1x^2]\\Nsin x,\Nend{align*}]
Tabla de adivinación de los coeficientes indeterminados
La solución general \(y\left( x \right)\\Nde la ecuación no homogénea es la suma de la solución general \({y_0}left( x \right)\Nde la ecuación homogénea correspondiente y una solución particular \N({y_1}left( x \right)\Nde la ecuación no homogénea:
Para un lado derecho arbitrario \(f\left( x \right)\Nla solución general de la ecuación no homogénea se puede encontrar utilizando el método de variación de parámetros. Si el lado derecho es el producto de un polinomio y funciones exponenciales, es más conveniente buscar una solución particular por el método de los coeficientes indeterminados.
Según el método de la variación de las constantes (o método de Lagrange), consideramos las funciones \({C_1}izquierda( x \ derecha),\N) \({C_2}izquierda( x \ derecha), \ldots ,\) \({C_n}izquierda( x \ derecha)\Nen lugar de los números regulares \N({C_1},\N) \N({C_2}, \Npuntos ,\N) \N({C_n}.\N-Estas funciones se eligen de forma que la solución
{C’_1}Izquierda( x \right)Y_1^ {{Izquierda( {n – 1} \right)} {Izquierda( x \right) + {C’_2}Izquierda( x \right)Y_2^{Izquierda( {n – 1} derecho)}izquierda( x derecho) + \cdots + {C’_n}izquierda( x derecho)Y_n^{izquierda( {n – 1} derecho)}izquierda( x derecho) = f\left( x derecho)