Ecuación diferencial lineal de segundo orden
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Como veremos en este capítulo, no existe una fórmula general para la solución de \(\eqref{eq:eq1}\). Lo que haremos en su lugar es ver varios casos especiales y ver cómo resolverlos. También veremos algo de la teoría detrás de las ecuaciones diferenciales de primer orden, así como algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. A continuación se muestra una lista de los temas tratados en este capítulo.
Ecuaciones lineales – En esta sección resolvemos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, es decir, ecuaciones diferenciales de la forma \(y’ + p(t) y = g(t)\Nde). Damos una visión general en profundidad del proceso utilizado para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales, así como una derivación de la fórmula necesaria para el factor integrador utilizado en el proceso de solución.
Ecuación diferencial de segundo orden
Aquí, \(F\) es una función de tres variables que etiquetamos \(t\), \(y\), y \(\dot{y}\). Se entiende que \(\dot{y}\) aparecerá explícitamente en la ecuación aunque \(t\) y \(y\) no necesitan. El término “primer orden” significa que la primera derivada de \(y\) aparece, pero ninguna derivada de orden superior lo hace.
La ecuación general de primer orden es demasiado general, es decir, no podemos describir métodos que funcionen con todas, o incluso con una gran parte de ellas. Podemos avanzar con tipos específicos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por ejemplo, se puede decir mucho sobre ecuaciones de la forma \(\dot{y} = \phi (t, y)\) donde \(\phi \) es una función de las dos variables \(t\) y \(y\). Bajo condiciones razonables sobre \(\phi\), dicha ecuación tiene solución y el correspondiente problema de valor inicial tiene una solución única. Sin embargo, en general, estas ecuaciones pueden ser muy difíciles o imposibles de resolver explícitamente.
Consideremos este ejemplo específico de un problema de valor inicial para la ley de enfriamiento de Newton: \(\dot y = 2(25-y)\), \(y(0)=40\). Observamos en primer lugar que si \(y(t_0) = 25\), el lado derecho de la ecuación diferencial es cero, por lo que la función constante \(y(t)=25\) es una solución de la ecuación diferencial. No es una solución del problema de valor inicial, ya que \(y(0)\ no=40\). (La interpretación física de esta solución constante es que si un líquido está a la misma temperatura que su entorno, entonces el líquido permanecerá a esa temperatura). Mientras \(y\) no sea 25, podemos reescribir la ecuación diferencial como
Sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación diferencial en la que el orden máximo de una derivada es uno y no puede aparecer ninguna otra derivada de orden superior en esta ecuación. Una ecuación diferencial de primer orden es generalmente de la forma F(x, y, y’) = 0, donde y es una variable dependiente y x es una variable independiente e y’ aparece explícitamente en la ecuación diferencial. También puede escribirse como F(t, f(t), f'(t)) = 0, donde f(t) es la solución de la ecuación diferencial. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación diferencial con una derivada de orden uno y el grado de la ecuación es también uno.
En este artículo, exploraremos el concepto de ecuaciones diferenciales de primer orden, las formas de encontrar sus soluciones, las ecuaciones diferenciales de problemas de valor inicial de primer orden y sus aplicaciones. Resolveremos algunos ejemplos para una mejor comprensión del concepto.
Una ecuación diferencial de primer orden se escribe generalmente como F(x, y, y’) = 0, donde y’ es la derivada de primer orden y aparece explícitamente en la ecuación, x es una variable independiente e y es una función de x. Decimos que la función f(t) es una solución de la ecuación diferencial de primer orden F(t, f(t), f'(t)) = 0, para todos los valores de t. Un ejemplo de la vida real de la ecuación diferencial de primer orden es la ecuación de la ley de enfriamiento de Newton dada por, y’ = k(M – y) y puede expresarse como F(t, y, y’) = k(M – y) – y’. Veamos algunos otros ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer orden:
Modelización de ecuaciones diferenciales de primer orden
Una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden es una ecuación de la forma \ds y’ + p(t)y=0\) o equivalentemente \ds y’ = -p(t)y\text{.})Ya hemos visto una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden, a saber, el modelo simple de crecimiento y decaimiento \ds =ky\text{.})
Como se puede adivinar, una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden tiene la forma \ds y’ + p(t)y = f(t)\text{.}) No sólo está estrechamente relacionado en forma a la ecuación lineal homogénea de primer orden, podemos utilizar lo que sabemos acerca de la resolución de ecuaciones homogéneas para resolver la ecuación lineal general.
Vamos a discutir ahora cómo podemos encontrar todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Supongamos que \(y_1(t)\Ny \N(y_2(t)\Nson soluciones de \N(\ds y’ + p(t)y = f(t)\Ntext{.}) Dejemos que \ds g(t)=y_1-y_2text{.}) Entonces
En otras palabras, \(\ds g(t)=y_1-y_2) es una solución de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0text{.}\} Dando la vuelta a esto, cualquier solución de la ecuación lineal \(\ds y’ + p(t)y = f(t)\text{,}) llámese \(y_1\text{,}) puede escribirse como \(y_2+g(t)\text{,}) para algún \(y_2\) particular y alguna solución \(g(t)\) de la ecuación homogénea \(\ds y’ + p(t)y = 0\text{. }\) Como ya sabemos encontrar todas las soluciones de la ecuación homogénea, encontrar una sola solución de la ecuación \ds y’ + p(t)y = f(t)\) nos dará todas ellas.