Ejemplo de solución en serie de potencias de ecuaciones diferenciales
Una función trigonométrica (como el seno o el coseno), o alguna combinación de ellas, puede ser la solución de una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes. Pero la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes no constantes suele ser una serie de potencias.
Las series de potencias convergen a funciones especiales complicadas. Para las ecuaciones diferenciales no complicadas con series de potencias no complicadas tenemos nombres para las funciones como “sin” “cos” “exp” etc. Un ejemplo de una función especial más complicada que no es tan conocida como el coseno es http://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function .
Además, en el caso de una ecuación lineal homogénea con coeficientes que son polinomios en $x$, se obtiene una recurrencia lineal para los coeficientes de la solución. En algunos casos se puede resolver esa recurrencia para obtener una fórmula explícita para los coeficientes.
Calculadora de soluciones en serie de ecuaciones diferenciales ordinarias
En matemáticas, el método de las series de potencias se utiliza para buscar una solución en serie de potencias a ciertas ecuaciones diferenciales. En general, dicha solución supone una serie de potencias con coeficientes desconocidos, y luego sustituye esa solución en la ecuación diferencial para encontrar una relación de recurrencia para los coeficientes.
Si a2 es cero para algún z, el método de Frobenius, una variación de este método, es adecuado para tratar los llamados “puntos singulares”. El método funciona de forma análoga para las ecuaciones de orden superior, así como para los sistemas.
{\displaystyle {\begin{aligned}&=suma _{k=0}^{infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}- suma _{k=1}^{infty }2kA_{k}z^{k}+suma _{k=0}^{infty }A_{k}z^{k}&&=2A{2}+suma _{k=1}^{infty }(k+2)(k+1)A_{k+2}z^{k}- \suma _{k=1}^{infty }2kA_{k}z^{k}+A_{0}+suma _{k=1}^{infty }A_{k}z^{k}&&=2A_{2}+A_{0}+suma _{k=1}^{infty }left((k+2)(k+1)A_{k+2}+(-2k+1)A_{k}right)z^{k}end{aligned}}.
A_{4}&={1} sobre 4}A_{2}={1} izquierda({1} sobre 4} {{d})} {{1} izquierda({1} sobre 2} {{d})} A_{0}={- 1 sobre 8 A_{0}[8pt]A_{5}&=1 sobre 4 A_{3}=izquierda({1 sobre 4}[derecha])|izquierda({1 sobre 6}[derecha])A_{1}=1 sobre 24 A_{1}[8pt]A_{6}&=7 sobre 30 A_{4}=izquierda({7 sobre 30}[derecha])|izquierda({- 1 sobre 8 a la derecha)A_{0}=7 sobre 240 A_{0}[8pt]A_{7}&=3 sobre 14 A_{5}=izquierda(3 sobre 14 a la derecha)|izquierda(1 sobre 24 a la derecha)A_{1}=1 sobre 112 A_{1}[end{aligned}}.
Problemas resueltos de series de potencia
Anteriormente, estudiamos cómo las funciones pueden representarse como series de potencias, \(\displaystyle y(x)={suma_{0}^{\infty} a_nx^n\). También vimos que podemos encontrar representaciones en serie de las derivadas de dichas funciones diferenciando la serie de potencias término a término. Esto da
Esta relación de recurrencia nos permite expresar cada coeficiente \_n(a_n\) en términos del coeficiente dos términos antes. Así se obtiene una expresión para valores pares de \(n\) y otra para valores impares de \(n\). Observando primero las ecuaciones que implican valores pares de \(n\), vemos que
Como es de esperar para una ecuación diferencial de segundo orden, esta solución depende de dos constantes arbitrarias. Sin embargo, nótese que nuestra ecuación diferencial es una ecuación diferencial de coeficiente constante, pero la solución de la serie de potencias no parece tener la forma familiar (que contiene funciones exponenciales) que estamos acostumbrados a ver. Además, puesto que \(y(x)=c_1e^x+c_2e^{-x}\) es la solución general de esta ecuación, debemos ser capaces de escribir cualquier solución en esta forma, y no está claro si la solución en serie de potencias que acabamos de encontrar puede, de hecho, ser escrita en esa forma.
Solución de series de potencia de ecuaciones diferenciales pdf
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo apaisado. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Antes de entrar en la búsqueda de soluciones en serie a las ecuaciones diferenciales necesitamos determinar cuándo podemos encontrar soluciones en serie a las ecuaciones diferenciales. Así pues, empecemos con la ecuación diferencial,
Esta vez nos referimos realmente a coeficientes no constantes. Hasta ahora sólo hemos tratado con coeficientes constantes. Sin embargo, con las soluciones en serie podemos tener ahora ecuaciones diferenciales de coeficientes no constantes. Además, para hacer los problemas un poco más agradables vamos a tratar sólo con coeficientes polinómicos.
son analíticas en \N(x=x_{0}\N). Es decir, estas dos magnitudes tienen series de Taylor en torno a \(x=x_{0}\). Vamos a tratar sólo con los coeficientes que son polinomios por lo que esto será equivalente a decir que