Ecuaciones diferenciales parciales pdf
Las derivadas totales examinan los valores de una función permitiendo que todas las variables cambien, mientras que las derivadas parciales “fijan” todas las variables excepto una a la vez. Aprende las reglas, la notación y las formas de resolver las derivadas parciales a través de ecuaciones de ejemplo.
DerivadasLas derivadas, en general, son importantes en el cálculo porque nos permiten ver el valor de una función en un punto determinado. Las derivadas parciales son muy similares a la resolución de las derivadas totales porque se aplican las mismas reglas a ambas. Las derivadas totales permiten que todas las variables de una ecuación cambien, mientras que las derivadas parciales sólo diferencian una variable a la vez mientras que la(s) otra(s) variable(s) permanecen fijas.
Reglas y notaciónLa forma más fácil de resolver las derivadas parciales y totales es memorizar las reglas de las derivadas abreviadas o tener a mano una tabla con las reglas. Algunas de las reglas para resolver ecuaciones en derivadas son: Hay muchas más reglas que éstas, pero en esta lección sólo veremos estas cinco. Al resolver derivadas parciales, la variable que no se está diferenciando se trata como una constante. Además, ten en cuenta que no hay un símbolo uniforme para representar la diferenciación. Aquí hay algunas notaciones que puedes encontrar al resolver estas funciones:
Solucionador de ecuaciones térmicas
A diferencia de las EDOs, las EDPs son las ecuaciones que gobiernan los modelos matemáticos en los que el sistema tiene dependencia espacial y temporal (piensa en una cuerda de guitarra que vibra, cuyo desplazamiento depende de la posición, en comparación con una masa puntual idealizada suspendida por un muelle y que sufre oscilaciones).
Quizá te preguntes por qué utilizamos un símbolo diferente para las derivadas (∂ en lugar de d) cuando trabajamos con EDP. El símbolo d indica una derivada ordinaria y se utiliza para la derivada de una función de una variable, y = y(t). El símbolo ∂ indica una derivada parcial y se utiliza cuando se diferencia una función de dos o más variables, u = u(x,t). Por ejemplo, significa diferenciar u(x,t) con respecto a t, tratando x como una constante. Las derivadas parciales son tan fáciles como las ordinarias.
Si una gota de colorante cae en un recipiente de agua clara, se difundirá gradualmente por todo el recipiente. Este proceso se describe mediante la ecuación de difusión, en la que u = u(x,t) representa la concentración del colorante. Esta EDP también describe otros procesos de difusión, por ejemplo la difusión del calor. Piensa en sostener un tenedor metálico para tostar en un fuego de campamento. Al final, tu mano sentirá el calor. En esta situación u = u(x,t) representa la temperatura del tenedor.
Ecuación de onda
∂u∂t=∂2u∂x2.Esta ecuación describe la disipación de calor para 0≤x≤L y t≥0. El objetivo es resolver la temperatura u(x,t). La temperatura es inicialmente una constante no nula, por lo que la condición inicial es
u(L,t)=1.Para resolver esta ecuación en MATLAB, hay que codificar la ecuación, las condiciones iniciales y las condiciones de contorno, y luego seleccionar una malla de solución adecuada antes de llamar al solucionador pdepe. Puedes incluir las funciones necesarias como funciones locales al final de un archivo (como en este ejemplo), o guardarlas como archivos separados y con nombre en un directorio de la ruta de MATLAB.Codificar la ecuaciónAntes de codificar la ecuación, tienes que asegurarte de que está en la forma que espera el solucionador pdepe:
1⋅∂u∂t=x0∂∂x(x0∂u∂x)+0.Así que los valores de los coeficientes son los siguientes:El valor de m se pasa como argumento a pdepe, mientras que los demás coeficientes se codifican en una función para la ecuación, que esfunción [c,f,s] = heatpde(x,t,u,dudx)
(Nota: Todas las funciones se incluyen como funciones locales al final del ejemplo.)Código Condición inicialLa función de condición inicial para la ecuación del calor asigna un valor constante para u0. Esta función debe aceptar una entrada para x, aunque no se utilice.Función u0 = heatic(x)
Ecuación del calor
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Ahora que ya hemos dejado de lado la breve discusión sobre los límites, podemos proceder a tomar derivadas de funciones de más de una variable. Antes de empezar a tomar derivadas de funciones de más de una variable, recordemos una importante interpretación de las derivadas de funciones de una variable.
Recordemos que, dada una función de una variable, \(f’\left( x \right)\N, la derivada, \(f’\left( x \right)\Nrepresenta la tasa de cambio de la función a medida que cambia \N(x\). Esta es una interpretación importante de las derivadas y no vamos a querer perderla con funciones de más de una variable. El problema con las funciones de más de una variable es que hay más de una variable. Es decir, ¿qué hacemos si sólo queremos que cambie una de las variables o si queremos que cambie más de una? De hecho, si vamos a permitir que cambien más de una de las variables, habrá entonces una cantidad infinita de maneras de que cambien.