Ecuaciones exponenciales y logarítmicas academia khan
Determina primero si la ecuación puede reescribirse de forma que cada lado utilice la misma base. Si es así, los exponentes pueden ser iguales entre sí. Si la ecuación no puede reescribirse de manera que cada lado utilice la misma base, entonces aplica el logaritmo a cada lado y utiliza las propiedades de los logaritmos para resolverla.
La propiedad uno a uno puede utilizarse si ambos lados de la ecuación pueden reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Si es así, los argumentos se pueden igualar y la ecuación resultante se puede resolver algebraicamente. La propiedad uno a uno no puede utilizarse cuando cada lado de la ecuación no puede reescribirse como un único logaritmo con la misma base.
263. En química, el pH es una medida de la acidez y viene dado por la fórmula \(\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)\), donde \(H^{+}\) es la concentración de iones de hidrógeno (medida en moles de hidrógeno por litro de solución.) Determine la concentración de iones de hidrógeno si el pH de una solución es \(4\).
264. El volumen del sonido, \(L\) en decibelios (dB), viene dado por la fórmula \(L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)\) donde \(I\) representa la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado. Determine la intensidad de una alarma que emite \(120\) dB de sonido.
Hoja de trabajo de resolución de ecuaciones exponenciales con logaritmos
En Juan 6:1-15 y Mateo 1:13-21, la Biblia cuenta la historia de Jesús alimentando a los 5.000. Jesús atravesó el mar de Galilea durante un tiempo sólo con sus discípulos, pero la multitud de personas lo siguió por tierra y lo alcanzó rápidamente. Así que Jesús pasó el día enseñando y curando. Casi al anochecer, Jesús preguntó dónde comprar comida para los 5.000 hombres más las mujeres y los niños. Se calcula que la multitud era de 15.000 personas. Un niño tenía una comida de cinco pequeños panes de cebada y dos pequeños peces. Jesús tomó la comida, dio las gracias y partió el pan y los peces. Luego repartió los trozos de pan y pescado a los discípulos para que los dieran a la gente. Si el pan y los peces se dividieran por la mitad, ¿cuántas veces habría que dividirlos para alimentar a las 15.000 personas?
Las funciones exponenciales tienen una propiedad de uno a uno, lo que significa que cada valor de entrada, x, da un único valor de salida, y. Cada x da una sola y, y cada y da una sola x. Esto significa que las ecuaciones exponenciales tienen una sola solución.
El método 1 sólo funciona cuando ambos lados de la ecuación pueden escribirse fácilmente como expresiones exponenciales con la misma base. Si no es así, hay que utilizar métodos de resolución más tradicionales. Para resolver cualquier ecuación, se utilizan los inversos de las operaciones para obtener la variable sola. Para deshacer la multiplicación, la división; para deshacer el cuadrado, la raíz cuadrada; para deshacer la exponencial, el logaritmo. Así que para resolver una ecuación exponencial se utiliza el inverso, un logaritmo. Esto tiene el mismo efecto que reescribir la ecuación exponencial como un logaritmo.
Variable en el exponente
En esta sección desarrollaremos técnicas para resolver ecuaciones que implican funciones exponenciales y logarítmicas. Supongamos, por ejemplo, que queremos resolver la ecuación \(2^x = 128.\ Si resulta que \(128 = 2^7\) entonces tenemos la solución de la ecuación: \(x = 7.\N-Sin embargo, si cambiamos ligeramente la ecuación a \(2^x = 129,\Neste método deja mucho que desear. El exponente que necesitamos en \(2\) para obtener \(129\) no se nos ocurre fácilmente. Aquí es donde los registros vienen al rescate. Al igual que elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación es una estrategia razonable cuando se trabaja con radicales, “registrar” ambos lados nos permite utilizar las reglas de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales. Podríamos tomar la base del logaritmo \(2\) de ambos lados, pero esto a veces presenta un problema:
Hemos resuelto para \(x{,}\}), pero ¿cómo calculamos \(\log_2(129)\}? La mayoría de las calculadoras no tienen un botón para la base del logaritmo \(2\text{,}\}) Si lo piensas, hay un número infinito de bases que podríamos considerar para un logaritmo. Probablemente tu calculadora tenga dos botones de logaritmos, uno para \(\ln(x)\️ y otro para \(log(x)\text{,}\️) de base \️ y \️. Afortunadamente, no todo está perdido. Vamos a ver cómo resolveríamos el problema limitado por nuestra elección de bases. Utilizaremos la base \(e\) para este problema.
Calculadora de ecuaciones exponenciales y logarítmicas
En 1859, un terrateniente australiano llamado Thomas Austin liberó conejos en la naturaleza para su caza. Como Australia tenía pocos depredadores y abundante comida, la población de conejos se disparó. En menos de diez años, la población de conejos se contaba por millones.
El crecimiento incontrolado de la población, como el de los conejos salvajes en Australia, puede modelarse con funciones exponenciales. Las ecuaciones resultantes de esas funciones exponenciales pueden resolverse para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento exponencial. En esta sección, aprenderemos técnicas para resolver funciones exponenciales.
La primera técnica implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad uno a uno de las funciones exponenciales nos dice que, para cualesquiera números reales \(b\), \(S\), y \(T\), donde \(b>0\), \(b≠1\), \(b^S=b^T\) si y sólo si \(S=T\).
En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deben ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por lo tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales utilizando las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son uno-a-uno para establecer los exponentes iguales entre sí, y resolver la incógnita.