Fórmula de la desigualdad exponencial
Una ecuación exponencialUna ecuación que incluye una variable como exponente. es una ecuación que incluye una variable como uno de sus exponentes. En esta sección describimos dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. En primer lugar, recordemos que las funciones exponenciales definidas por f(x)=bx, donde b>0 y b≠1, son uno a uno; cada valor del rango corresponde exactamente a un elemento del dominio. Por lo tanto, f(x)=f(y) implica x=y. Lo contrario es cierto porque f es una función. Esto nos lleva a la importantísima propiedad uno a uno de las funciones exponencialesDado b>0 y b≠1 tenemos bx=by si y sólo si x=y.:
Para resolver esto hacemos uso del hecho de que los logaritmos son funciones uno a uno. Dados x,y>0 la propiedad uno a uno de los logaritmosDado b>0 y b≠1 donde x,y>0 tenemos logb x=logb y si y sólo si x=y. se sigue:
Esta propiedad, así como las propiedades del logaritmo, nos permite resolver ecuaciones exponenciales. Por ejemplo, para resolver 3x=12 aplicamos el logaritmo común a ambos lados y luego utilizamos las propiedades del logaritmo para aislar la variable.
Problemas de práctica de ecuaciones exponenciales con respuestas pdf
Determina primero si la ecuación puede reescribirse de manera que cada lado utilice la misma base. Si es así, los exponentes pueden ser iguales entre sí. Si la ecuación no puede reescribirse de manera que cada lado use la misma base, entonces aplica el logaritmo a cada lado y usa las propiedades de los logaritmos para resolver.
La propiedad uno a uno puede utilizarse si ambos lados de la ecuación pueden reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Si es así, los argumentos se pueden igualar y la ecuación resultante se puede resolver algebraicamente. La propiedad uno a uno no puede utilizarse cuando cada lado de la ecuación no puede reescribirse como un único logaritmo con la misma base.
263. En química, el pH es una medida de la acidez y viene dado por la fórmula \(\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)\), donde \(H^{+}\) es la concentración de iones de hidrógeno (medida en moles de hidrógeno por litro de solución.) Determine la concentración de iones de hidrógeno si el pH de una solución es \(4\).
264. El volumen del sonido, \(L\) en decibelios (dB), viene dado por la fórmula \(L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)\) donde \(I\) representa la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado. Determine la intensidad de una alarma que emite \(120\) dB de sonido.
Ejemplos y soluciones de desigualdades exponenciales
Para resolver ecuaciones exponenciales sin logaritmos, necesitas tener ecuaciones con expresiones exponenciales comparables a ambos lados del signo “igual”, para poder comparar las potencias y resolver. En otras palabras, tienes que tener “(alguna base) a (alguna potencia) igual a (la misma base) a (alguna otra potencia)”, donde estableces las dos potencias iguales entre sí, y resuelves la ecuación resultante. Por ejemplo:
Esta solución demuestra la base lógica de cómo se resuelve toda esta clase de ecuaciones: Si las bases son iguales, entonces las potencias también deben ser iguales; ésta es la única manera de que los dos lados de la ecuación sean iguales entre sí. Como las potencias deben ser iguales, entonces podemos establecer las dos potencias iguales entre sí, y resolver la ecuación resultante.
No todas las ecuaciones exponenciales se dan en términos de la misma base a ambos lados del signo “igual”. A veces tenemos que convertir primero un lado o el otro (o ambos) a otra base antes de poder igualar las potencias. Por ejemplo:
Resolución de ecuaciones y desigualdades exponenciales clave de respuesta
En la sección sobre funciones logarítmicas, hemos resuelto algunas ecuaciones reescribiendo la ecuación en forma exponencial. Ahora que tenemos las propiedades de los logaritmos, tenemos métodos adicionales que podemos utilizar para resolver ecuaciones logarítmicas.
No siempre es posible o conveniente escribir las expresiones con la misma base. En ese caso, solemos tomar el logaritmo común o el logaritmo natural de ambos lados una vez aislada la exponencial.
Cuando tomamos el logaritmo de ambos lados obtendremos el mismo resultado tanto si usamos el logaritmo común como el natural (prueba a usar el logaritmo natural en el último ejemplo, ¿obtuviste el mismo resultado?) Cuando la exponencial tiene base e, usamos el logaritmo natural.
En las secciones anteriores pudimos resolver algunas aplicaciones que estaban modeladas con ecuaciones exponenciales. Ahora que tenemos muchas más opciones para resolver estas ecuaciones, podemos resolver más aplicaciones.
Los padres de Jermael invierten 10.000 dólares para sus gastos universitarios cuando cumple un año. Esperan que las inversiones valgan 50.000 dólares cuando cumpla 18 años. Si los intereses se acumulan continuamente, ¿qué tasa de crecimiento necesitarán aproximadamente para alcanzar su objetivo?