Ax = b solución única
Kathryn ha enseñado matemáticas en la escuela secundaria o en la universidad durante más de 10 años. Tiene un doctorado en Matemáticas Aplicadas por la Universidad de Wisconsin-Milwaukee, un máster en Matemáticas por la Universidad Estatal de Florida y una licenciatura en Matemáticas por la Universidad de Wisconsin-Madison.
Al resolver ecuaciones en álgebra, hay dos casos en los que las soluciones no tienen sentido: las soluciones infinitas y la ausencia de soluciones. Explora la definición y las diferencias entre las soluciones infinitas y la ausencia de soluciones, y comprende ejemplos de cada una.
Resolver ecuacionesCuando resuelves ecuaciones en álgebra, es como una búsqueda del tesoro. Estás buscando tu x. Quieres saber dónde está tu x, para poder encontrar tu tesoro. Con la mayoría de las ecuaciones, obtendrás una respuesta que te permitirá saber dónde se encuentra tu tesoro. Por ejemplo, si resolvemos la ecuación x + 3 = 4 restando 3 a ambos lados, obtendremos x = 1 como respuesta y ubicación de nuestro tesoro. Pero a veces, una ecuación que intentas resolver te da una respuesta que no tiene sentido. Es este tipo de respuestas el que vamos a discutir en esta lección de vídeo. Es importante entenderlas para poder detectarlas e identificar las ecuaciones como irresolubles porque tienen una respuesta que no tiene sentido. Repasaremos los dos posibles casos en los que la respuesta no tiene sentido.
Matrices
a) Dado que el determinante es cero significa que se produce una situación de “División por cero” (utilizando la Regla de Cramer), la opción “sin solución” es comprensible ya que la división por cero no está definida. Pero me confunde cómo entonces, en cualquier circunstancia, el sistema puede tener infinitas soluciones. Es decir, ¿no nos encontraremos con la división por cero en todos los casos en que el determinante sea cero? Así que, por favor, dame una explicación intuitiva y perspicaz al respecto.
b) ¿Estaré equivocado al suponer que, en un caso en el que el determinante es igual a cero, hay infinitas soluciones si y sólo si se trata de un sistema de ecuaciones homogéneo? Por favor, explique por qué o por qué no.
En cuanto a (a) y a tu “pregunta principal”: si $\,\det A=0\,$ todavía hay que comprobar si no hay soluciones o hay infinitas soluciones (suponiendo que estamos trabajando en un campo infinito). Por ejemplo, si el sistema es homogéneo (sobre un campo infinito) debe tener infinitas soluciones, mientras que si el sistema es no homogéneo puede no tener soluciones o tener varias:
Sistema de ecuaciones lineales con soluciones infinitas
Kathryn ha enseñado matemáticas en la escuela secundaria o en la universidad durante más de 10 años. Tiene un doctorado en Matemáticas Aplicadas por la Universidad de Wisconsin-Milwaukee, un máster en Matemáticas por la Universidad Estatal de Florida y una licenciatura en Matemáticas por la Universidad de Wisconsin-Madison.
Cuando se resuelven ecuaciones en álgebra, hay dos casos en los que las soluciones no tienen sentido: soluciones infinitas y sin soluciones. Explora la definición y las diferencias entre las soluciones infinitas y la ausencia de soluciones, y comprende ejemplos de cada una.
Resolver ecuacionesCuando resuelves ecuaciones en álgebra, es como una búsqueda del tesoro. Estás buscando tu x. Quieres saber dónde está tu x, para poder encontrar tu tesoro. Con la mayoría de las ecuaciones, obtendrás una respuesta que te permitirá saber dónde se encuentra tu tesoro. Por ejemplo, si resolvemos la ecuación x + 3 = 4 restando 3 a ambos lados, obtendremos x = 1 como respuesta y ubicación de nuestro tesoro. Pero a veces, una ecuación que intentas resolver te da una respuesta que no tiene sentido. Es este tipo de respuestas el que vamos a discutir en esta lección de vídeo. Es importante entenderlas para poder detectarlas e identificar las ecuaciones como irresolubles porque tienen una respuesta que no tiene sentido. Repasaremos los dos posibles casos en los que la respuesta no tiene sentido.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales
Si \(k = 3\), la ecuación \(\eqref{eq:ecuación lineal-en-y-y}\) es verdadera para cualquier elección de \(y\), y cualquier elección de \(y\) da un valor único de \(x\) (es decir, el que se obtiene de la ecuación \(\eqref{eq:eq-para-x-en-términos-de-k-y}\)). Por lo tanto, hay infinitas soluciones \((x,y)\N.)
Sus gradientes son iguales si \(\dfrac{2}{k} = \dfrac{k+3}{9}\), donde \(k\ne0\), que reordena a \(k^2 + 3k -18 = 0\). (Si \(k=0\), la segunda línea tiene gradiente \(\frac13\), que no es vertical, por lo que las líneas no son paralelas).