Ecuación diferencial parcial exacta
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En las aplicaciones físicas las funciones I y J suelen ser no sólo continuas sino incluso continuamente diferenciables. El Teorema de Schwarz nos proporciona entonces un criterio necesario para la existencia de una función potencial. Para ecuaciones diferenciales definidas en conjuntos simplemente conexos el criterio es incluso suficiente y obtenemos el siguiente teorema:
Dada una ecuación diferencial exacta definida en algún subconjunto simplemente conexo y abierto D de R2 con una función potencial F, una función diferenciable f con (x, f(x)) en D es una solución si y sólo si existe un número real c para que
{\displaystyle {\parcial I sobre \parcial x}+{dy sobre dx}\left({\parcial I sobre \parcial y}+{parcial J sobre \parcial x}+{parcial J sobre \parcial y}{dy sobre dx}\right)+{d^{2}y sobre dx^{2}}left(J\left(x,y\right)\right)=0}
Ejemplos de ecuaciones diferenciales exactas con soluciones
Sean las funciones \(P\left( {x,y} \right)\Ny \N(Q\left( {x,y} \right)\Nque tienen derivadas parciales continuas en un cierto dominio \N(D.\N-La ecuación diferencial \N(P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy = 0\Nes una ecuación exacta si y sólo si
En el paso \(3,\) podemos integrar la segunda ecuación sobre la variable \(y\) en lugar de integrar la primera ecuación sobre \(x.\) Después de la integración tenemos que encontrar la función desconocida \({\psi \left( x \right)}.\N)
\frac{{parcial Q}}{parcial x}}= \frac{parcial }{parcial x}}left( {{x^2} + 3{y^2}} \ right) = 2x,\; \frac{parcial P}{parcial y}} = \frac{parcial }{parcial y}}left( {2xy} \ right) = 2x.\f]
\[\frac{{parcial u}} {{parcial y}} = \frac{{parcial}} {{parcial y}}left[ {{x^2}y + \varphi \left( y \right)} \right] = {x^2} + 3{y^2},\N-; \N-flecha derecha {x^2} + \varphi’\a la izquierda( y \a la derecha) = {x^2} + 3{y^2},\\N;\N-flecha derecha \N-varphi’\Nizquierda( y \Nderecha) = 3{y^2}.\N-flecha derecha]
\N – [\frac{{parcial Q}} {{parcial x}} = \frac{parcial }{{parcial x}}left( {3{y^2}} – x – 2} \\N – derecha) = – 1,\N -; \N – \N – P} {{parcial y}} = \frac{parcial} {{parcial y}}left( {6{x^2}} – y + 3} \N – 1. \]
Condición de ecuación diferencial exacta
Comparando con nuestra ecuación diferencial original, y también que esto implica que dφ(y,t)=0 y φ(y,t)=constante. Para resolver la ecuación, integramos ambos lados de la diferencial total con respecto a una de las variables, digamos t:
donde F(y) es una “constante de integración”. (En realidad, F(y) es una función, pero cuando la diferenciamos con respecto a t, tratamos y como constante y así su derivada se hace cero). Para resolver F(y), diferenciamos φ(y,t) con respecto a la otra variable, en este caso y, y fijamos el resultado igual a N(t,y).
entonces se dice que la ecuación es “inexacta” y el método anterior no puede utilizarse directamente para resolverla. Sin embargo, se puede utilizar si se puede encontrar una función, μ(t,y) tal que, cuando la ecuación diferencial se multiplica por μ(t,y), se convierte en exacta. Tal función se denomina “función integradora”[2], lo que transformaría la condición de exactitud en:
Esto no es particularmente útil por sí mismo, ya que todavía tenemos que resolver para μ como una función de dos variables. A menudo, la función integradora puede expresarse como una sola de las dos variables, lo que significa que sólo tendríamos que resolver una ecuación diferencial ordinaria en lugar de una ecuación diferencial parcial. Si no, a veces se puede adivinar el factor integrador o emplear otro método para encontrar una solución.
Preguntas y respuestas sobre ecuaciones diferenciales no exactas
Que es una ecuación diferencial de primer orden. El objetivo de esta sección es ir hacia atrás. Es decir, si una ecuación diferencial es de la forma anterior, buscamos la función original \(f(x,y)\N (llamada función potencial). Una ecuación diferencial con una función potencial se llama exacta. Si has tenido cálculo vectorial, esto es lo mismo que encontrar las funciones potenciales y utilizar el teorema fundamental de las integrales de línea.
¿Funciona siempre este método? La respuesta es no. Podemos saber si el método funciona recordando que para una función con derivadas parciales continuas, las parciales mixtas son independientes del orden. Es decir
Dado que no son iguales, encontrar una función potencial \(f\) es inútil. Sin embargo, hay un rayo de esperanza si recordamos cómo resolvimos las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Multiplicamos ambos lados por un factor integrador \(m\). Lo hacemos aquí para obtener
Ahora tenemos una nueva ecuación diferencial que, por desgracia, es más difícil de resolver que la ecuación diferencial original. Simplificamos la ecuación suponiendo que o bien m es una función de sólo \(x\) o sólo \(y\). Si es una función de sólo \(x\), entonces \( m_y = 0 \) y