Modelo de crecimiento de la población
donde \(k, m\) son constantes reales y \(k \neq 0\). Podemos pensar de nuevo en esta ecuación como una descripción del crecimiento o decaimiento de una cantidad \(x\) con respecto al tiempo \(t\). Ahora bien, el crecimiento o decaimiento de \(x\) no sólo es proporcional a sí mismo, sino que también tiene una componente constante \(m\).
Así, \(x\) se aproxima a \(-\dfrac{m}{k}\), lo que se llama el valor de equilibrio. Por otro lado, si \(k>0\) (es decir, si \(x\) crece), entonces \(x\) se aproxima al valor de equilibrio \(-\dfrac{m}{k}\) a medida que \(t \ a -\infty\).
El valor de equilibrio también puede calcularse fijando \(\dfrac{dx}{dt} = 0\). Así, para el ejemplo anterior, la ecuación diferencial se reduce a \(0 = -3x+7\). En el equilibrio, \(x\) está en un “estado estacionario” y la tasa de cambio de \(x\) es 0.
El término constante \(m\) en la ecuación diferencial puede considerarse como la tasa de migración de una población, como en el siguiente ejemplo – recordando, como siempre, que el crecimiento exponencial sostenido de la población suele ser poco realista.
Supongamos de nuevo que hay 1.000 aves en una isla, que se reproducen con una tasa de crecimiento continua y constante del 10% anual. Pero ahora las aves migran a la isla a un ritmo constante de 100 nuevas llegadas al año. Con tres cifras significativas, ¿cuántas aves hay en la isla al cabo de siete años?
Ecuación diferencial de la población
Los modelos de tiempo continuo suelen adoptar la forma de ecuaciones diferenciales. Dado que se trata de un tema bastante avanzado de las matemáticas que no suele enseñarse por debajo del nivel universitario, empezaremos con una breve introducción a las ecuaciones diferenciales. A continuación, veremos algunos ejemplos de modelos de crecimiento de la población en tiempo continuo, que reflejan los ejemplos en tiempo discreto tratados en la sección anterior. Por último, como propiedades más importantes de los modelos dinámicos, volveremos a examinar los equilibrios y su estabilidad en los modelos de tiempo continuo.
Después de reflexionar un poco y desenterrar alegres recuerdos de las matemáticas de la escuela secundaria, puede encontrar que las soluciones de esta ecuación son \(x=2\) y \(x=-3\). En ecuaciones como ésta, buscamos números que, al insertar una variable (en este caso \(x\)), conviertan la ecuación en un enunciado verdadero. Puede haber una solución, varias soluciones (como en el ejemplo), infinitas soluciones o ninguna solución.
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en las que la incógnita no es un número, sino una función. Además, en estas ecuaciones no sólo interviene la función, sino también las derivadas de esa función. Consideremos el siguiente ejemplo:
Ecuación diferencial del crecimiento bacteriano
dpdt=p(1-2p)Para los valores de equilibrio necesitamos poner dpdt=0Por lo tanto, p(1-2p)=0p=0 o…question_answer P: ¿Resolver el problema adjunto? R: dydt=Kydyy= K dtIntegre ambos lados ,∫ dyy=∫ K dtpregunta_respuesta P: En el ejercicio, (a) utilice una utilidad gráfica para graficar un campo de pendiente para la ecuación diferencial, (b)…R: Haga clic para ver la respuestapregunta_respuesta P: (a) Encuentre la solución general del sistema lineal de ecuaciones diferenciales dado por:
(b) Esbozar…R: Los valores y vectores propios juegan un papel fundamental en la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden…question_answer P: Clasificar la ecuación diferencial dada según su tipo, orden, grado, y
Enumere los puntos de equilibrio y…R: Haga clic para ver la respuestapregunta_respuesta P: (a) Utilizando un balance de masas para la sal en cada tanque, establezca un sistema de ecuaciones diferenciales para…R: Haga clic para ver la respuestapregunta_respuesta P: Considere la ecuación diferencial autónoma
Encuentra los equilibrios,…R: La ecuación diferencial autónoma esdxdt=-7x+13-xx-52.Para encontrar:a Los equilibrios, dibuja una línea de fase… P: Ejercicio (5): Si y = es una familia de soluciones de un parámetro de la ecuación diferencial de primer orden
Resolver la ecuación diferencial logística
El crecimiento de la población de la Tierra es uno de los problemas más acuciantes de nuestro tiempo. ¿Seguirá creciendo la población? ¿O tal vez se estabilizará en algún momento, y si es así, cuándo? En esta sección, veremos dos formas de utilizar las ecuaciones diferenciales para ayudarnos a responder a estas preguntas.
A primera vista, esto parece bastante razonable. Cuando hay un número relativamente pequeño de personas, habrá menos nacimientos y muertes, por lo que la tasa de cambio será pequeña. Cuando el número de personas es mayor, habrá más nacimientos y muertes, por lo que se espera una mayor tasa de cambio.
Nuestro trabajo en el Ejemplo8.55 muestra que el modelo exponencial es bastante preciso para los años relativamente cercanos al 2000. Sin embargo, si nos adentramos demasiado en el futuro, el modelo predice tasas de cambio cada vez más grandes, lo que hace que la población crezca de forma arbitraria. Esto no tiene mucho sentido, ya que no es realista esperar que la Tierra pueda soportar una población tan grande.
La constante \(k\) en la ecuación diferencial \(\frac{dP}{dt} = kP\) se llama tasa de crecimiento per cápita. En otras palabras, \(k\) es la contribución a la tasa de cambio de la población de una sola persona.