Ejercicio 1.2.27 encontrar la solución del sistema cuya matriz aumentada es
Escribir la matriz aumentada de un sistema de ecuacionesResolver un sistema de ecuaciones puede ser una operación tediosa en la que un simple error puede causar estragos en la búsqueda de la solución. Existe un método alternativo que utiliza los procedimientos básicos de eliminación pero con una notación más sencilla. El método consiste en utilizar una matriz. Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas.
Utilizaremos una matriz para representar un sistema de ecuaciones lineales. Escribimos cada ecuación en forma estándar y los coeficientes de las variables y la constante de cada ecuación se convierten en una fila de la matriz. Cada columna sería entonces los coeficientes de una de las variables del sistema o las constantes. Una línea vertical sustituye a los signos de igualdad. Llamamos a la matriz resultante la matriz aumentada del sistema de ecuaciones.
Sustituimos la segunda ecuación por su forma estándar. En la matriz aumentada, la primera ecuación nos da la primera fila y la segunda ecuación nos da la segunda fila. La línea vertical sustituye a los signos de igualdad.
Resuelve los sistemas de los ejercicios 11-14
Antes de multiplicar las matrices, es instructivo comprobar si cumplen el criterio de dimensionalidad. Aquí, y , y la dimensión de columna de es igual a la dimensión de fila de . Por tanto, existe, y el producto será de dimensión . Tenemos
Antes de multiplicar las matrices, es conveniente comprobar si cumplen el criterio de dimensionalidad. Aquí, y , y la dimensión de columna de es igual a la dimensión de fila de . Por tanto, existe, y el producto será de dimensión , y además, existe y es de dimensión . Tenemos
Esta es también la respuesta que debería obtenerse al multiplicar la expresión directamente, es decir, sin la simplificación del producto escalar. Nótese que para este enfoque, el orden de la multiplicación es irrelevante, y siempre se debería obtener el mismo resultado.
Este ejemplo muestra que se pueden realizar varias operaciones a la vez, es decir, utilizando una sola matriz , o respectivamente, que la aplicación secuencial de las operaciones se puede resumir en una sola matriz. Sin embargo, hay que tener cuidado al hacerlo: todas las entradas en deben referirse a la matriz inicial de la que se parte, y no a alguna matriz intermedia obtenida tras una o varias operaciones. Como ejemplo concreto, si quisiéramos multiplicar primero la fila 1 por 3 y luego restarla de la segunda fila, utilizaríamos , ya que restamos 3 veces la primera fila inicial de la segunda.
Ejercicios de eliminación gaussiana
En esta sección, presentaremos un algoritmo para “resolver” un sistema de ecuaciones lineales.Resolveremos sistemas de ecuaciones lineales algebraicamente utilizando el método de eliminación. Es decir, combinaremos las ecuaciones de diversas formas para intentar eliminar el mayor número de variables posible de cada ecuación. Hay tres operaciones válidas que podemos realizar en nuestro sistema de ecuaciones:
Esto se llama una matriz aumentada. La palabra “aumentada” se refiere a la línea vertical, que dibujamos para recordar dónde está el signo de igualdad; una matriz es una cuadrícula de números sin la línea vertical. En esta notación, nuestras tres formas válidas de manipular nuestras ecuaciones se convierten en operaciones de fila:
Por supuesto, esto no significa que la segunda fila sea igual a la segunda fila menos el doble de la primera. En cambio, significa que estamos sustituyendo la segunda fila por la segunda fila menos el doble de la primera. Este tipo de sintaxis se utiliza con frecuencia en la programación informática cuando queremos cambiar el valor de una variable.
Problemas de palabras de reducción de filas
Considere la siguiente matriz aumentada en la que \(\ast\) denota un número arbitrario y \(\blacksquare\) denota un número distinto de cero. Determine si la matriz aumentada dada es consistente. Si es consistente, ¿es la solución única? \N – Izquierda[ \N – Inicio{array}{ccc|c} \blacksquare & \ast & \ast & \ast \\\\\a 0 & \blacksquare & \ast & \ast \a 0 & 0 & \blacksquare & \ast \aend{array} \[derecha]]
La forma reducida de la fila-echelón es (izquierda): 1 y 0 y frac 1 y 2 y frac 1 y 2. \\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \N-end{array} \right] .\ ~ -) Por lo tanto, la solución es de la forma \(z=t,y=\frac{3}{4}+t\left( \frac{1}{4}\right) ,x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t\) donde \(t\ en \mathbb{R}).
Supongamos que la matriz de coeficientes de un sistema de \(n\) ecuaciones con \(n\) variables tiene la propiedad de que cada columna es una columna pivote. ¿Se deduce que el sistema de ecuaciones debe tener una solución? Si es así, ¿la solución debe ser única? Explica.
La temperatura de estado estacionario, \(u\), de una placa resuelve la ecuación de Laplace, \(\Delta u=0,\) Una forma de aproximar la solución es dividir la placa en una malla cuadrada y requerir que la temperatura en cada nodo sea igual al promedio de la temperatura en los cuatro nodos adyacentes. En la siguiente imagen, los números representan la temperatura observada en los nodos indicados. Encuentra la temperatura en los nodos interiores, indicados por \(x,y,z,\) y \(w\). Una de las ecuaciones es \(z=vspace{0,05in}\frac{1}{4}\left( 10+0+w+x\right)\).