Variable en el exponente
Determina primero si la ecuación puede reescribirse de forma que cada lado utilice la misma base. Si es así, los exponentes pueden ser iguales entre sí. Si la ecuación no puede reescribirse de manera que cada lado utilice la misma base, entonces aplica el logaritmo a cada lado y utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver.
La propiedad uno a uno puede utilizarse si ambos lados de la ecuación pueden reescribirse como un único logaritmo con la misma base. Si es así, los argumentos se pueden igualar y la ecuación resultante se puede resolver algebraicamente. La propiedad uno a uno no puede utilizarse cuando cada lado de la ecuación no puede reescribirse como un único logaritmo con la misma base.
263. En química, el pH es una medida de la acidez y viene dada por la fórmula \(\mathrm{pH}=-\log \left(H^{+}\right)\), donde \(H^{+}\) es la concentración de iones de hidrógeno (medida en moles de hidrógeno por litro de solución.) Determine la concentración de iones de hidrógeno si el pH de una solución es \(4\).
264. El volumen del sonido, \(L\) en decibelios (dB), viene dado por la fórmula \(L=10 \log \left(I / 10^{-12}\right)\) donde \(I\) representa la intensidad del sonido en vatios por metro cuadrado. Determine la intensidad de una alarma que emite \(120\) dB de sonido.
Ejercicios de ecuaciones exponenciales con respuestas
En la sección sobre funciones logarítmicas, hemos resuelto algunas ecuaciones reescribiendo la ecuación en forma exponencial. Ahora que tenemos las propiedades de los logaritmos, tenemos métodos adicionales que podemos utilizar para resolver ecuaciones logarítmicas.
No siempre es posible o conveniente escribir las expresiones con la misma base. En ese caso solemos tomar el logaritmo común o el logaritmo natural de ambos lados una vez aislada la exponencial.
Cuando tomamos el logaritmo de ambos lados obtendremos el mismo resultado tanto si usamos el logaritmo común como el natural (prueba a usar el logaritmo natural en el último ejemplo, ¿obtuviste el mismo resultado?) Cuando la exponencial tiene base e, usamos el logaritmo natural.
En las secciones anteriores pudimos resolver algunas aplicaciones que estaban modeladas con ecuaciones exponenciales. Ahora que tenemos muchas más opciones para resolver estas ecuaciones, podemos resolver más aplicaciones.
Los padres de Jermael han invertido 10.000 dólares para sus gastos universitarios en su primer cumpleaños. Esperan que las inversiones valgan 50.000 dólares cuando cumpla 18 años. Si los intereses se acumulan continuamente, ¿qué tasa de crecimiento necesitarán aproximadamente para alcanzar su objetivo?
Aplicar el logaritmo a la ecuación
La mayoría de las ecuaciones exponenciales no se resuelven limpiamente; no habrá manera de convertir las bases para que sean iguales, como la conversión de 4 y 8 en potencias de 2. Para resolver estas ecuaciones más complicadas, tendrás que usar logaritmos.
Tomar logaritmos nos permitirá aprovechar la regla del logaritmo que dice que las potencias dentro de un logaritmo se pueden desplazar por delante como multiplicadores. Al tomar el logaritmo de una exponencial, podemos mover la variable (que está en el exponente que ahora está dentro de un logaritmo) hacia adelante, como un multiplicador en el logaritmo. En otras palabras, la regla del logaritmo nos permitirá desplazar la variable hacia abajo, donde podamos tenerla a mano.
Si esta ecuación me hubiera pedido “Resolver 2x = 32”, entonces encontrar la solución habría sido fácil, porque podría haber convertido el 32 en 25, poner los exponentes iguales y resolver “x = 5”. Pero, a diferencia de 32, 30 no es una potencia de 2, así que no puedo establecer potencias iguales entre sí. Necesito algún otro método para llegar a la x, porque no puedo resolver la ecuación con la variable flotando por encima del 2; la necesito de nuevo en el suelo, donde debe estar, donde puedo llegar a ella. Y tendré que usar logaritmos para bajar esa variable.
Hoja de trabajo de resolución de ecuaciones exponenciales con logaritmos
Una ecuación exponencialUna ecuación que incluye una variable como exponente. es una ecuación que incluye una variable como uno de sus exponentes. En esta sección describimos dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. En primer lugar, recordemos que las funciones exponenciales definidas por f(x)=bx, donde b>0 y b≠1, son uno a uno; cada valor del rango corresponde exactamente a un elemento del dominio. Por lo tanto, f(x)=f(y) implica x=y. Lo contrario es cierto porque f es una función. Esto nos lleva a la importantísima propiedad uno a uno de las funciones exponencialesDado b>0 y b≠1 tenemos bx=by si y sólo si x=y.:
Para resolver esto hacemos uso del hecho de que los logaritmos son funciones uno a uno. Dados x,y>0 la propiedad uno a uno de los logaritmosDado b>0 y b≠1 donde x,y>0 tenemos logb x=logb y si y sólo si x=y. se sigue:
Esta propiedad, así como las propiedades del logaritmo, nos permite resolver ecuaciones exponenciales. Por ejemplo, para resolver 3x=12 aplicamos el logaritmo común a ambos lados y luego utilizamos las propiedades del logaritmo para aislar la variable.