Resolución de ecuaciones exponenciales
Quizá hayas oído la expresión “multiplicarse como los conejos”, que implica un aumento muy rápido. Esta expresión es cierta: A partir de los seis meses, las hembras de conejo pueden tener una camada de hasta 14 crías cada mes. Si una sola coneja viviera siete años y mantuviera ese ritmo de reproducción, y todas las crías de conejo hembra empezaran a reproducirse al mismo ritmo a los seis meses… pues serían muchos conejos.
El límite biológico de la velocidad de crecimiento de la población de conejos se basa en el periodo de gestación, el tiempo de maduración de los conejos y el tamaño medio de la camada. Todos esos factores pueden combinarse matemáticamente para predecir la tasa de crecimiento de una población de conejos en un periodo de tiempo determinado. Aunque otros factores pueden reducir la tasa de crecimiento, esa ecuación describiría el límite superior. El tipo de ecuación que describe el tipo de crecimiento que aumenta con el tiempo es una ecuación exponencial, introducida en nuestro módulo Ecuaciones exponenciales en Ciencias I: Crecimiento y descomposición. Sin embargo, cuando se trata de sistemas naturales que tienen variabilidad y cambian continuamente, la ecuación exponencial adopta una forma particular que es común en la ciencia.
Exponentes
Para resolver ecuaciones exponenciales sin logaritmos, es necesario tener ecuaciones con expresiones exponenciales comparables a ambos lados del signo “igual”, para poder comparar las potencias y resolver. En otras palabras, tienes que tener “(alguna base) a (alguna potencia) igual a (la misma base) a (alguna otra potencia)”, donde estableces las dos potencias iguales entre sí, y resuelves la ecuación resultante. Por ejemplo:
Esta solución demuestra la base lógica de cómo se resuelve toda esta clase de ecuaciones: Si las bases son iguales, entonces las potencias también deben ser iguales; ésta es la única manera de que los dos lados de la ecuación sean iguales entre sí. Como las potencias deben ser iguales, entonces podemos establecer las dos potencias iguales entre sí, y resolver la ecuación resultante.
No todas las ecuaciones exponenciales se dan en términos de la misma base a ambos lados del signo “igual”. A veces tenemos que convertir primero un lado o el otro (o ambos) a otra base antes de poder igualar las potencias. Por ejemplo:
Variable en el exponente
(donde el argumento x se escribe como exponente). A menos que se especifique lo contrario, el término se refiere generalmente a la función de valor positivo de una variable real, aunque puede extenderse a los números complejos o generalizarse a otros objetos matemáticos como las matrices o las álgebras de Lie. La función exponencial se originó a partir de la noción de exponenciación (multiplicación repetida), pero las definiciones modernas (hay varias caracterizaciones equivalentes) permiten extenderla rigurosamente a todos los argumentos reales, incluidos los números irracionales. Su omnipresencia en las matemáticas puras y aplicadas llevó al matemático Walter Rudin a opinar que la función exponencial es “la función más importante de las matemáticas”[1].
que satisfacen la identidad de exponenciación también se conocen como funciones exponenciales, la función exponencial exp es la única función de valor real de una variable real cuya derivada es ella misma y cuyo valor en 0 es 1; es decir,
Motivado por propiedades y caracterizaciones más abstractas de la función exponencial, la exponencial puede generalizarse y definirse para tipos de objetos matemáticos completamente diferentes (por ejemplo, una matriz cuadrada o un álgebra de Lie).
Ecuaciones exponenciales sin logaritmos
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