Resuelve utilizando los determinantes x+4y-z=-14
Ahora lo que hay que notar en estas dos expresiones es que los denominadores (a1b2 – a2b1) son iguales y que los términos del denominador provienen todos de la matriz de coeficientes. Además, si a1b2 – a2b1 es cero, el sistema no puede tener solución porque no podemos dividir por cero.
Así que resulta que este número a1b2 – a2b1 es bastante importante, lo suficiente como para recibir un nombre, el determinante. Y resulta que esta característica es válida para matrices de cualquier tamaño: Si el determinante de una matriz de coeficientes es cero, el sistema no tiene solución. Otra forma de decirlo es: Las ecuaciones no son linealmente independientes.
Si el determinante de una matriz es cero, entonces el sistema lineal de ecuaciones que representa no tiene solución. En otras palabras, el sistema de ecuaciones contiene al menos dos ecuaciones que no son linealmente independientes.
En el ejemplo superior, el sistema lineal representado por la matriz no es linealmente independiente porque una fila puede formarse aplicando una operación lineal sobre la otra. Por ejemplo, si la fila superior se multiplica por -1, el resultado sería la fila inferior. En realidad, sólo hay una información para encontrar dos variables, por lo que el sistema no se puede resolver, y esto lo indica el determinante cero.
Determinante del sistema
Hemos aprendido a resolver sistemas de ecuaciones en dos variables y en tres variables, y por múltiples métodos: sustitución, adición, eliminación de Gauss, uso de la inversa de una matriz y graficación. Algunos de estos métodos son más fáciles de aplicar que otros y son más apropiados en determinadas situaciones. En esta sección, estudiaremos dos estrategias más para resolver sistemas de ecuaciones.
Un determinante es un número real que puede ser muy útil en matemáticas porque tiene múltiples aplicaciones, como calcular el área, el volumen y otras cantidades. Aquí utilizaremos los determinantes para revelar si una matriz es invertible, utilizando las entradas de una matriz cuadrada para determinar si existe una solución al sistema de ecuaciones. Sin embargo, una de las aplicaciones más interesantes es su uso en criptografía. A veces se envían señales o mensajes seguros codificados en una matriz. Los datos sólo pueden descifrarse con una matriz invertible y el determinante. Para nuestro propósito, nos centramos en el determinante como indicación de la invertibilidad de la matriz. El cálculo del determinante de una matriz implica seguir las pautas específicas que se describen en esta sección.
Resolución de ecuaciones por el método de los determinantes
Recordemos que una matriz es una matriz rectangular de números formada por filas y columnas. Clasificamos las matrices por el número de filas n y el número de columnas m. Por ejemplo, una matriz de 3×4, léase “matriz de 3 por 4”, es aquella que consta de 3 filas y 4 columnas. Una matriz cuadradaUna matriz con el mismo número de filas y columnas. es una matriz en la que el número de filas es el mismo que el número de columnas. En esta sección describimos otro método para resolver sistemas lineales utilizando propiedades especiales de las matrices cuadradas. Comenzamos considerando la siguiente matriz A de 2×2 coeficientes,
Podemos resolver sistemas lineales con dos variables utilizando determinantes. Comenzamos con un sistema lineal general de 2×2 y resolvemos para y. Para eliminar la variable x, multiplicamos la primera ecuación por -a2 y la segunda ecuación por a1.
Tanto el numerador como el denominador se parecen mucho al determinante de una matriz de 2×2. De hecho, este es el caso. El denominador es el determinante de la matriz de coeficientes. Y el numerador es el determinante de la matriz formada al sustituir la columna que representa los coeficientes de y por la correspondiente columna de constantes. Esta matriz especial se denomina Dy.
Fórmula del método determinante
Si una matriz tiene el mismo número de filas y columnas, la llamamos matriz cuadrada. Cada matriz cuadrada tiene asociado un número real llamado su determinante. Para encontrar el determinante de la matriz cuadrada lo escribimos primero como Para obtener el valor del número real del determinante restamos los productos de las diagonales, como se muestra.
Para evaluar el determinante de una matriz, tenemos que ser capaces de evaluar el menor de una entrada en el determinante. El menor de una entrada es el determinante que se encuentra al eliminar la fila y la columna del determinante que contiene la entrada.
Dado que podemos expandir por cualquier fila o columna, ¿cómo decidimos qué fila o columna utilizar? Normalmente intentamos elegir una fila o columna que nos facilite el cálculo. Si el determinante contiene un 0, utilizar la fila o columna que contiene el 0 facilitará los cálculos.
Para expandir por menores, buscamos una fila o columna que nos facilite los cálculos. Como el 0 está en la segunda fila y en la segunda columna, expandir por cualquiera de ellas es una buena opción. Como la segunda fila tiene menos negativos que la segunda columna, expandiremos por la segunda fila.