Ecuación diferencial homogénea y no homogénea
Respuesta: Una función homogénea es una función que tiene el mismo grado del polinomio en cada variable. Por ejemplo, si tenemos una función f(x, y) = x^n + y^m, entonces n y m son los grados de los polinomios en x e y, respectivamente.
Respuesta: Las funciones homogéneas pueden ser muy útiles para resolver problemas, especialmente sistemas de ecuaciones. Al reducir un sistema a su forma homogénea, a menudo se puede facilitar su resolución. Además, muchas técnicas de cálculo funcionan mejor cuando se aplican a funciones homogéneas.
Respuesta: Una función es homogénea si el grado del polinomio en cada variable es igual. Por ejemplo, f(x, y) = x^n + y^m podría escribirse como g(x, y) = k*f(x/y). En este caso, el grado del polinomio en x es n y el grado del polinomio en y es m. Sin embargo, si tienes una función como h(x) = (x-a)^n, entonces el grado del polinomio en x es n y el grado del polinomio en a es 0. Por tanto, h(x) no es una función homogénea.
Respuesta: Un ejemplo de problema que puede resolverse utilizando una función homogénea es el siguiente: dada la ecuación y = (x-a)^n, encontrar todas las soluciones reales en las que x > a. En este caso, podemos resolver el problema tomando la raíz enésima de ambos lados y resolviendo luego para y:
Ejemplo de ecuación homogénea
La función homogénea es una función con comportamiento de escala multiplicativa. La función f(x, y), si se puede expresar escribiendo x = kx, e y = ky para formar una nueva función f(kx, ky) = knf(x, y) tal que la constante k se puede tomar como la enésima potencia del exponente, se llama función homogénea.
La función homogénea es una función con comportamiento de escala multiplicativa. Aquí, si cada variable de la ecuación se multiplica por una constante, entonces toda la función se multiplica también por un exponente del valor de la constante. Consideremos una función f(x, y), y si cada variable se multiplica con una constante K, entonces toda la expresión de la función se multiplica también con la enésima potencia de la constante k.
En las dos funciones anteriores no podemos tomar fácilmente la constante común, y por tanto las dos funciones anteriores no pueden considerarse como funciones homogéneas. Las funciones que contienen expresiones especiales que implican logaritmos o razones trigonométricas no son funciones homogéneas.
La ecuación diferencial que se forma con una función homogénea es una ecuación diferencial homogénea. La ecuación diferencial de la forma dy/dx = f(x, y) es una ecuación diferencial homogénea si la función f(x, y) es una función homogénea. Además, vamos a comprobar una definición alternativa de función homogénea antes de avanzar en la resolución de una ecuación diferencial homogénea.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas pdf
se convierte en una ecuación separable moviendo el origen del sistema de coordenadas al punto de intersección de las rectas dadas. Si estas rectas son paralelas, la ecuación diferencial se transforma en ecuación separable utilizando el cambio de variable:
Es fácil ver que los polinomios \(P\left( {x,y} \right)\N y \(Q\left( {x,y} \right),\N respectivamente, en \N(dx\) y \N(dy,\N) son funciones homogéneas de primer orden. Por lo tanto, la ecuación diferencial original también es homogénea.
\N-[int {\frac{{du}} {{u\left( {\ln u – 1} \right)}} = \int {\frac{{dx}}{x}} \N – Flecha derecha \N -int {{frac} {{izquierda( {ln u} {derecha)}} {{ln u – 1}} = \int {{frac} {{x}} {x} .\N – Flecha derecha \N -int {\frac( {ln u – 1} \ derecha)}{{ln u – 1}} = \int {\frac{dx}{x}} .\]
\[\ln\left| {\ln u – 1} \N – derecha = \ln \ln izquierda| x \ln derecha| + \ln {C_1},\; \ln flecha derecha \ln izquierda| {\ln u – 1} \right| = \ln \left| {{C_1}x} \right|,\\\\️; \rightarrow \ln u – 1 = \pm {C_1}x,\️; \rightarrow \ln u = 1 \pm {C_1}x;\️; \text{or};\️;u = {e^{1 \pm {C_1}x}.\️]
Ecuación diferencial homogénea de segundo orden
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lateral de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Al igual que con las ecuaciones diferenciales de segundo orden, no podemos resolver una ecuación diferencial no homogénea a menos que podamos resolver primero la ecuación diferencial homogénea. También tendremos que limitarnos a las ecuaciones diferenciales de coeficiente constante, ya que la resolución de ecuaciones diferenciales de coeficiente no constante es bastante difícil, por lo que no las trataremos aquí. Asimismo, sólo estudiaremos las ecuaciones diferenciales lineales.
Ahora, supongamos que las soluciones a esta ecuación diferencial será en la forma \ ~(y\left( t \right) = { {\bf{e}^{r,t}}) y enchufe esto en la ecuación diferencial y con un poco de simplificación que obtenemos,