Resolver la ecuación matricial
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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por la siguiente tripleta ordenada.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales puede aproximarse a menudo mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.
Resolver el sistema de ecuaciones de la calculadora de la matriz
Juan recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4% de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, el objetivo principal es eliminar una variable cada vez para lograr la sustitución por la espalda. Una solución a un sistema de tres ecuaciones en tres variables [latex]\left(x,y,z\right),\text{}[/latex] se llama un triple ordenado.
Solucionador de sistemas de ecuaciones
Aunque el subtítulo de esta sección pueda parecer una tontería, puesto que ya tuvimos toda una lección sobre la notación de las matrices, esta lección tratará completamente de eso: de cómo construir matrices, concretamente, de cómo escribir matrices que representen y ayuden a resolver el sistema de ecuaciones previsto en determinados problemas.
Desde el álgebra ya sabemos cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales, y sabemos que para resolver un determinado sistema necesitamos la misma cantidad de incógnitas (que llamamos variables) que la cantidad de ecuaciones del sistema. Hemos estudiado métodos sobre cómo resolverlos, como el método de sustitución, de eliminación e incluso en la lección pasada estuvimos resolviendo sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficas
Construyamos entonces la matriz en cuestión. Para un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas, el esquema general de abajo funciona perfectamente. Construiremos una matriz de forma que todos los coeficientes de las variables de cada ecuación se utilicen como elementos de la matriz. Fíjate que las ecuaciones se apilarán como las filas, y como tenemos tres variables diferentes, empezamos poniendo el coeficiente de cada una de ellas, para cada ecuación en el orden señalado en la figura 1.
Calculadora de matrices
Resolver un sistema de ecuaciones puede ser una operación tediosa en la que un simple error puede causar estragos en la búsqueda de la solución. Existe un método alternativo que utiliza los procedimientos básicos de eliminación pero con una notación más sencilla. El método consiste en utilizar una matriz. Una matriz es una matriz rectangular de números dispuestos en filas y columnas.
Utilizaremos una matriz para representar un sistema de ecuaciones lineales. Escribimos cada ecuación en forma estándar y los coeficientes de las variables y la constante de cada ecuación se convierten en una fila de la matriz. Cada columna sería entonces los coeficientes de una de las variables del sistema o las constantes. Una línea vertical sustituye a los signos de igualdad. Llamamos a la matriz resultante la matriz aumentada del sistema de ecuaciones.
Sustituimos la segunda ecuación por su forma estándar. En la matriz aumentada, la primera ecuación nos da la primera fila y la segunda ecuación nos da la segunda fila. La línea vertical sustituye a los signos de igualdad.
ⓑ Las tres ecuaciones están en forma estándar. En la matriz aumentada la primera ecuación nos da la primera fila, la segunda ecuación nos da la segunda fila y la tercera ecuación nos da la tercera fila. La línea vertical sustituye a los signos de igualdad.