Ejemplos de métodos de reducción
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El problema de la búsqueda de soluciones periódicas a ciertas ecuaciones subcuadráticas escalares de segundo orden se reduce, mediante un argumento variacional, al estudio de una función real de una variable, la “función de reducción” del problema. La existencia y la multiplicidad de soluciones para el problema original y para sus perturbaciones están ligadas a las propiedades de la función de reducción. Se obtienen condiciones equivalentes para la perturbabilidad del problema, así como resultados de genericidad y descripciones del rango del operador diferencial. Las aplicaciones abarcan ecuaciones con no linealidades oscilantes o acotadas o problemas fuertemente resonantes.
Calculadora del método de reducción
Algunas ecuaciones de segundo orden pueden reducirse a ecuaciones de primer orden, lo que las hace susceptibles de los métodos simples de resolución de ecuaciones de primer orden. A continuación se presentan tres tipos particulares de tales ecuaciones de segundo orden:
La característica que las define es ésta: La variable dependiente, y, no aparece explícitamente en la ecuación. Este tipo de ecuación de segundo orden se reduce fácilmente a una ecuación de primer orden mediante la transformación
Refiriéndonos al Teorema B, observe que esta solución implica que y = c 1 e – x + c 2 es la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y que y = ½ x 2 – x es una solución particular de la ecuación no homogénea. (Esta ecuación diferencial particular también podría haberse resuelto aplicando el método de resolución de ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes).
Aunque esta ecuación es no lineal [debido al término ( y′) 2; ni y ni ninguna de sus derivadas pueden elevarse a ninguna potencia (que no sea 1) en una ecuación lineal], las sustituciones y′ = w e y″ = w′ seguirán reduciendo esto a una ecuación de primer orden, ya que la variable y no aparece explícitamente. La ecuación diferencial se transforma en
Método de reducción
En matemáticas, la eliminación gaussiana, también conocida como reducción de filas, es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en una secuencia de operaciones realizadas sobre la matriz de coeficientes correspondiente. Este método también puede utilizarse para calcular el rango de una matriz, el determinante de una matriz cuadrada y la inversa de una matriz invertible. El método lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), aunque algunos casos especiales del método -aunque presentados sin pruebas- ya eran conocidos por los matemáticos chinos hacia el año 179 de nuestra era[1].
Para llevar a cabo la reducción de filas en una matriz, se utiliza una secuencia de operaciones elementales de fila para modificar la matriz hasta que la esquina inferior izquierda de la matriz se llena de ceros, tanto como sea posible. Hay tres tipos de operaciones elementales de fila:
Utilizando estas operaciones, una matriz siempre puede transformarse en una matriz triangular superior, y de hecho en una que esté en forma escalonada. Una vez que todos los coeficientes principales (la entrada más a la izquierda que no es cero en cada fila) son 1, y cada columna que contiene un coeficiente principal tiene ceros en otra parte, se dice que la matriz está en forma escalonada reducida. Esta forma final es única; en otras palabras, es independiente de la secuencia de operaciones de fila utilizadas. Por ejemplo, en la siguiente secuencia de operaciones de fila (en la que se realizan dos operaciones elementales en filas diferentes en el primer y tercer paso), las matrices tercera y cuarta son las que están en forma escalonada, y la matriz final es la única forma escalonada reducida.
Método de reducción en matemáticas
El método de reducción de orden para resolver una ecuación diferencial de segundo orden se basa en la idea de resolver una tras otra las ecuaciones diferenciales de primer orden que se han derivado de la ecuación original de segundo orden para simplificar el problema. El nombre de este método proviene exactamente de este procedimiento, ya que podemos decir literalmente que al resolver ecuaciones diferenciales de primer orden para encontrar la solución del problema “reducimos” el orden de la ecuación original.
Una vez que tenemos un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden para resolver el problema, podemos trabajar con ellas utilizando enfoques más sencillos como el método de las ecuaciones separables o la ecuación de Bernoulli, etc. Cualquiera de los enfoques que se seleccione depende del conjunto de ecuaciones que se tenga que resolver, a lo largo de este artículo iremos resolviendo algunos ejemplos diferentes para mostrar la metodología paso a paso.
Volviendo a la pregunta principal de este artículo, ¿cómo el método de reducción de orden transforma realmente la ecuación diferencial de segundo orden original en una más simple? En realidad, para que podamos trabajar con este método debemos conocer ya una de las soluciones de la ecuación diferencial original para poder encontrar una segunda solución, esta segunda solución no necesita ser proporcional a la solución dada, o en otras palabras, la segunda solución puede ser linealmente independiente, que suele ser el caso deseado.