Fundamentos de álgebra: Resolución de ecuaciones básicas Parte 1 – Math Antics
ResumenEl objetivo del experimento de enseñanza del que se informa en este artículo era superar la “brecha cognitiva”, es decir, la incapacidad de los estudiantes para operar espontáneamente con o sobre lo desconocido. Tras un análisis de los obstáculos cognitivos implicados, este artículo informa de los resultados de un enfoque alternativo. Diseñamos un experimento de enseñanza individualizada que se puso a prueba en seis casos prácticos. En la primera parte se amplió la tendencia natural de los alumnos a agrupar los términos de la incógnita dentro de las ecuaciones a un proceso de agrupación de términos similares. En la segunda parte se introdujo un proceso inverso a la agrupación de términos semejantes, el de la descomposición de un término en una suma. Este proceso, combinado con la cancelación de términos idénticos, proporciona un procedimiento para la solución de ecuaciones de primer grado con la incógnita a ambos lados del signo de igualdad. La última parte del experimento didáctico consistió en la descomposición de un término aditivo en una diferencia. Las dos primeras partes tuvieron mucho éxito y los alumnos desarrollaron por su cuenta procedimientos más eficaces que los iniciales. Sin embargo, los resultados de la tercera parte revelaron los límites de este enfoque. Los alumnos tuvieron dificultades para elegir la descomposición necesaria. Parece que algunos de estos obstáculos son bastante sólidos y quizá no deban tratarse de forma incidental, sino que deberían abordarse como parte de un curso de preálgebra.
Mod-2 Lec-3 Ecuaciones diferenciales de primer orden y superiores
Este artículo trata sobre las ecuaciones algebraicas de grado dos y sus soluciones. Para la fórmula utilizada para encontrar soluciones a dichas ecuaciones, véase Fórmula cuadrática. Para funciones definidas por polinomios de grado dos, véase Función cuadrática.
término. Los números a, b y c son los coeficientes de la ecuación y pueden distinguirse llamándolos, respectivamente, coeficiente cuadrático, coeficiente lineal y término constante o libre[1].
Los valores de x que satisfacen la ecuación se denominan soluciones de la misma, y raíces o ceros de la expresión en su lado izquierdo. Una ecuación cuadrática tiene como máximo dos soluciones. Si sólo hay una solución, se dice que es una raíz doble. Si todos los coeficientes son números reales, hay dos soluciones reales, o una única raíz doble real, o dos soluciones complejas. Una ecuación cuadrática siempre tiene dos raíces, si se incluyen las raíces complejas; y una raíz doble se cuenta por dos. Una ecuación cuadrática se puede descomponer en una ecuación equivalente
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
En muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas, estamos interesados en encontrar soluciones a una ecuación de la forma \(f(x)=0.\) Sin embargo, para la mayoría de las funciones es difícil -si no imposible- calcular sus ceros explícitamente. En esta sección, veremos una técnica que proporciona una forma muy eficiente de aproximar los ceros de las funciones. Esta técnica hace uso de las aproximaciones de la línea tangente y está detrás del método utilizado a menudo por las calculadoras y los ordenadores para encontrar los ceros.
Consideremos la tarea de encontrar las soluciones de \(f(x)=0.\N-) Si \(f\) es el polinomio de primer grado \(f(x)=ax+b\), entonces la solución de \(f(x)=0\) viene dada por la fórmula \(x=-\frac{b}{a}\). Si \(f\) es el polinomio de segundo grado \(f(x)=ax^2+bx+c\), las soluciones de \(f(x)=0\) se pueden encontrar utilizando la fórmula cuadrática. Sin embargo, para polinomios de grado 3 o más, encontrar las raíces de \(f\) se vuelve más complicado. Aunque existen fórmulas para polinomios de tercer y cuarto grado, son bastante complicadas. Además, si f es un polinomio de grado 5 o superior, se sabe que no existen tales fórmulas. Por ejemplo, consideremos la función
Ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado 1
En los orígenes Los primeros matemáticos desarrollaron formas de encontrar soluciones a las ecuaciones de primer grado. – Babilonios – Egipcios – Chinos – Griegos Como ya sabemos, los egipcios documentaron todos sus “descubrimientos” en el “Papiro Rhind” y los chinos escribieron en los “Nueve capítulos del arte matemático”.
El álgebra primitiva en el mundo Los babilonios en torno al 530 a.C. – No había símbolos – No había números negativos – Cada número se redondeaba a un número entero Los egipcios tenían muchos menos conocimientos de álgebra que los babilonios. Su “Papiro de Rhind” sólo contenía ecuaciones lineales. En Grecia, su concepto de álgebra tenía un enfoque más gráfico. Tomaron prestados muchos de sus conocimientos de Asia Menor y Babilonia.
Papiro Rhind Colección de problemas utilizados para formar a los jóvenes escribas “Una cantidad; se le suman su mitad y su tercio. Se convierte en 10”. Contenía dos versiones diferentes de problemas – Método moderno (más corto y más algebraico) – Posición falsa (más larga y menos computacional)