Problemas de palabras de sistemas de ecuaciones lineales
Es probable que los alumnos de matemáticas de primaria estén familiarizados con las advertencias de los profesores de no adivinar la respuesta a un problema. Pero una nueva prueba establece que, de hecho, adivinar correctamente es a veces la mejor manera de resolver sistemas de ecuaciones lineales, uno de los cálculos fundamentales en matemáticas.
El nuevo método, obra de Richard Peng y Santosh Vempala, del Instituto Tecnológico de Georgia, se publicó en línea en julio y se presentó en enero en el Simposio anual ACM-SIAM sobre Algoritmos Discretos, donde ganó el premio al mejor artículo.
Los sistemas lineales incluyen dos o más ecuaciones con variables que especifican las diferentes formas en que se relacionan las cosas. Son “lineales” porque la única potencia permitida es exactamente 1 y las gráficas de las soluciones de las ecuaciones forman planos.
Un ejemplo común de sistema lineal -que probablemente también conozcan los estudiantes de matemáticas- es el de un corral lleno de gallinas y cerdos. Si sólo se sabe que hay 10 cabezas y 30 pies, ¿cuántas gallinas hay y cuántos cerdos? Como aprenden los estudiantes de álgebra, hay un procedimiento establecido para averiguarlo: Escribir dos ecuaciones algebraicas y resolverlas juntas.
Resolver sistemas de ecuaciones no lineales
En matemáticas, un sistema de ecuaciones, también conocido como conjunto de simultáneas o sistema de ecuaciones, es un conjunto finito de ecuaciones para el que buscamos las soluciones comunes. Un sistema de ecuaciones puede clasificarse de forma similar a las ecuaciones simples. El sistema de ecuaciones encuentra aplicaciones en nuestro día a día en la modelización de problemas en los que los valores desconocidos pueden representarse en forma de variables.
En álgebra, un sistema de ecuaciones comprende dos o más ecuaciones y busca soluciones comunes a las ecuaciones. “Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que se satisfacen con el mismo conjunto de variables”.
Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de las variables utilizadas en el conjunto de ecuaciones. Calculamos los valores de las variables desconocidas equilibrando aún las ecuaciones en ambos lados. La razón principal para resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el valor de la variable que satisface la condición de que todas las ecuaciones dadas sean verdaderas. Puede haber diferentes tipos de soluciones para un sistema de ecuaciones dado,
Método de eliminación
Tienes un puesto de venta en un partido de baloncesto. Vendes perritos calientes y refrescos. Cada perrito caliente cuesta 1,50 $ y cada refresco 0,50 $. Al final de la noche ganaste un total de $78.50. Has vendido un total de 87 perritos calientes y refrescos juntos. Debes reportar el número de perros calientes vendidos y el número de refrescos vendidos. ¿Cuántos perritos calientes se vendieron y cuántos refrescos se vendieron?
1. Empecemos por identificar la información importante:2. Define tus variables.En este problema, no sé cuántos perritos calientes o refrescos se vendieron. Así que esto es lo que representará cada variable. (Normalmente, la pregunta del final te dará esta información).Deja que x = el número de perritos calientes vendidosDeja que y = el número de refrescos vendidos3. Escribe dos ecuaciones. Una ecuación estará relacionada con el precio y otra con la cantidad (o número) de perritos calientes y refrescos vendidos.1,50x + 0,50y = 78,50 (Ecuación relacionada con el coste) x + y = 87 (Ecuación relacionada con el número vendido)4. ¡Resuelve! Podemos elegir el método que queramos para resolver el sistema de ecuaciones. Yo voy a elegir el método de sustitución ya que puedo resolver fácilmente la 2ª ecuación para y.
Problemas y respuestas del sistema de ecuaciones de 3 variables
Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficas y sustituciones. La gráfica funciona bien cuando los coeficientes de las variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. La sustitución funciona bien cuando podemos resolver fácilmente una ecuación para una de las variables y no tener demasiadas fracciones en la expresión resultante.
El tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales se llama Método de Eliminación. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, empezamos con dos ecuaciones y dos variables y lo redujimos a una ecuación con una variable. Esto es lo que haremos también con el método de eliminación, pero tendremos una forma diferente de llegar a él.
El método de eliminación se basa en la propiedad de adición de la igualdad. La propiedad de adición de la igualdad dice que cuando se agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, se mantiene la igualdad. Extenderemos la propiedad de igualdad de la adición para decir que cuando se añaden cantidades iguales a ambos lados de una ecuación, los resultados son iguales.
Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, empezamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Luego decidimos qué variable será más fácil de eliminar. ¿Cómo lo decidimos? Queremos que los coeficientes de una variable sean opuestos, para poder sumar las ecuaciones y eliminar esa variable.