Ejemplos de sistemas de ecuaciones con respuestas
Hemos trabajado con dos tipos de ecuaciones: ecuaciones con una variable y ecuaciones con dos variables. En general, podemos encontrar un número limitado de soluciones a una sola ecuación con una variable, mientras que podemos encontrar un número infinito de soluciones a una sola ecuación con dos variables. Esto se debe a que una única ecuación con dos variables está infradeterminada: hay más variables que ecuaciones. ¿Pero qué pasa si añadimos otra ecuación?
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con las mismas variables. La solución de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de la variable que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Para resolver un sistema de ecuaciones hay que encontrar todos los conjuntos de valores de las variables que constituyen soluciones del sistema.
Cuando graficamos una ecuación lineal en dos variables como una recta en el plano, todos los puntos de esta recta corresponden a pares ordenados que satisfacen la ecuación. Así, cuando graficamos dos ecuaciones, todos los puntos de intersección -los puntos que se encuentran en ambas rectas- son los puntos que satisfacen ambas ecuaciones.
Eliminación del sistema de ecuaciones
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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por la siguiente tripleta ordenada.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo puede aproximarse mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.
Cómo resolver un sistema de ecuaciones
En los ejemplos anteriores, resultaba útil, desde una perspectiva psicológica, sustituir una lista de cuatro números (que representaban el flujo de tráfico) o de 841 números (que representaban un código QR) por un único dato: un punto en algún punto R
Este es un concepto poderoso; a partir de la sección 2.2, registraremos casi exclusivamente soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de esta manera.Antes de discutir cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales a continuación, es útil ver algunas imágenes de cómo se ven estos conjuntos de soluciones geométricamente.
que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas a la vez. En otras palabras, como un punto que se encuentra en ambas líneas simultáneamente. Podemos ver en la imagen anterior que sólo hay un punto en el que se cruzan las rectas: por lo tanto, este sistema tiene exactamente una solución. (Esta solución es (
Cada ecuación define individualmente un plano en el espacio. Las soluciones del sistema de ambas ecuaciones son los puntos que se encuentran en ambos planos. Podemos ver en la imagen de abajo que los planos se cruzan en una línea. En particular, este sistema tiene infinitas soluciones.
¿Qué es la solución de un sistema de ecuaciones?
Un fabricante de monopatines introduce una nueva línea de tablas. El fabricante hace un seguimiento de sus costes, que es la cantidad que gasta para producir las tablas, y de sus ingresos, que es la cantidad que gana con las ventas de sus tablas. ¿Cómo puede determinar la empresa si está obteniendo beneficios con su nueva línea? ¿Cuántas tablas de skate deben producirse y venderse para obtener beneficios? En esta sección, consideraremos ecuaciones lineales con dos variables para responder a estas y otras preguntas similares.
Para investigar situaciones como la del fabricante de monopatines, tenemos que reconocer que estamos tratando con más de una variable y probablemente con más de una ecuación. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales formadas por dos o más variables, de manera que todas las ecuaciones del sistema se consideran simultáneamente. Para encontrar la solución única de un sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar un valor numérico para cada variable del sistema que satisfaga todas las ecuaciones del sistema al mismo tiempo. Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.