Ecuaciones de la raíz
La factorización es a menudo un paso importante en la resolución de ecuaciones racionales. Para resolver la siguiente ecuación racional, hay que factorizar el numerador. Las soluciones de la ecuación son las que resultan cuando el numerador se ha puesto a cero. El denominador no se pone a cero, porque si recuerdas, una de las condiciones de una expresión racional es que el denominador no puede ser igual a cero. Una vez que el numerador ha sido factorizado, pon cada uno de los factores a cero y resuelve para x.
Encontrar un denominador común es una técnica matemática que se requiere a menudo para resolver ecuaciones racionales. Para encontrar el mínimo común denominador de una expresión racional, básicamente se multiplican todos los factores únicos del denominador. Para cambiar cada término de la expresión para que tenga ese denominador, calcula por qué has multiplicado su denominador para que se convierta en el mínimo común denominador, y luego multiplica el numerador por ese mismo factor (de lo contrario, estás cambiando la expresión). Por ejemplo, si necesitas multiplicar el denominador por (x – 1), entonces el numerador también debe ser multiplicado por (x -1). Asegúrate de juntar los términos iguales del numerador para tu respuesta final.
Cómo se resuelven las ecuaciones radicales
Ecuaciones radicalesUna ecuación radical es una ecuación en la que uno o varios de los términos se cierran con un signo radical o con un exponente que tiene forma de fracción, que también se llama exponente racional. La forma más común de la ecuación radical es {eq}y=cuadrado{x} {/eq}. La operación inversa de una ecuación racional es la potencia de ese radical, o sea, elevar ambos lados de la ecuación radical a un exponente igual al orden del radical. Por ejemplo, la inversa de la expresión {eq} {sqrt{x} {/eq} en {eq}x^2 {/eq}. La inversa de una ecuación radical también se puede demostrar gráficamente. Aquí está la gráfica de la función radical, {eq}f(x)=\a{x} {/eq}:
En el gráfico anterior, la función cuadrática (en rojo) tiene un dominio de todos los números reales, mientras que el gráfico de la raíz cuadrada (en azul) tiene un dominio de todos los números mayores o iguales a cero. Este es un detalle importante a tener en cuenta al resolver las ecuaciones radicales.
Ejemplos de ecuaciones radicales con respuestas
Una estrategia básica para resolver ecuaciones radicales es aislar primero el término radical y luego elevar ambos lados de la ecuación a una potencia para eliminar el radical. (La razón para usar potencias quedará clara en un momento.) Este es el mismo tipo de estrategia que usaste para resolver otras ecuaciones no radicales: reordenar la expresión para aislar la variable que quieres conocer y luego resolver la ecuación resultante.
Sólo para hacer entender la importancia del concepto de que cuando a es negativo, a < 0, [latex]x^2=a[/latex] no tiene soluciones, lo replantearemos en palabras. Si tienes un número negativo bajo un signo de raíz cuadrada como en este ejemplo,
Hay dos ideas clave que usarás para resolver ecuaciones radicales. La primera es que si [latex] a=b[/latex], entonces [latex] {{a}^{2}}={{b}^{2}}[/latex]. (Esta propiedad permite elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación y estar seguro de que los dos lados siguen siendo iguales). La segunda es que si se eleva al cuadrado la raíz cuadrada de cualquier número no negativo x, entonces se obtiene [latex] {{left( \sqrt{x} \right)}^{2}}=x[/latex]. (Esta propiedad te permite “eliminar” los radicales de tus ecuaciones).
Ecuaciones radicales difíciles
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Una ecuación radicalEs cualquier ecuación que contiene uno o más radicales con una variable en el radicando. es cualquier ecuación que contiene uno o más radicales con una variable en el radicando. A continuación se presentan algunos ejemplos de ecuaciones radicales, que se resolverán en esta sección: