Ecuaciones e inecuaciones de grado superior
Aprende a resolver una ecuación polinómica de grado superior usando un patrón cuadrático.Ejemplo #1Factor x4 – 23×2 – 50 usando un patrón cuadráticoPaso 1Escribe x4 – 23×2 – 50 en el patrón de una expresión cuadrática para que puedas factorizarla como una haciendo una sustitución temporal de variables. Deja que y = x2 y sustituye y por x2x4 – 23×2 – 50 = (x2)2 – 23(x2) – 50×4 – 23×2 – 50 = (y)2 – 23(y) – 50Paso 2Factoriza y2 – 23y – 50y2 – 23y – 50 = (y + ___ )(y + ___ )Para completar el espacio en blanco anterior, busca factores de -50 que sumen -23.-25 × 2 = -50 y -25 + 2 = -23. Completa el espacio en blanco de la expresión anterior con -25 y 2. y2 – 23y – 50 = (y – 25)(y + 2)Paso 3Sustituye de nuevo a la variable original(y – 25)(y + 2) = (x2 – 25)(x2 + 2)Factoriza por completo(y – 25)(y + 2) = (x2 – 25)(x2 + 2) = (x – 5)(x + 5)(x2 + 2)Paso 4Establece la expresión (x – 5)(x + 5)(x2 + 2) igual a cero. (x – 5)(x + 5)(x2 + 2) = 0Resuelve las siguientes 3 ecuaciones(x – 5) = 0, (x + 5) = 0 y (x2 + 2) = 0x – 5 = 0x – 5 + 5 = 0 + 5x = 5x + 5 = 0x + 5 – 5 = 0 – 5x = -5×2 + 2 = 0x2 + 2 – 2 = 0 – 2×2 = -2×2 = 2(-1)x2 = 2i2 (ya que i2 = -1)x = ±√(2i2)x = ±i√(2)Las soluciones son 5, -5, √(2), y -√(2)
Fórmula cuadrática para polinomios de orden superior
Resolver un polinomio de grado superior tiene el mismo objetivo que una expresión cuadrática o de álgebra simple: factorizarlo tanto como sea posible, y luego utilizar los factores para encontrar soluciones al polinomio en y = 0. Hay muchos enfoques para resolver polinomios con un término x3{displaystyle x^{3}} o superior. Es posible que tenga que utilizar varios antes de encontrar uno que funcione para su problema.
Resumen del artículoPara resolver polinomios de grado superior, factoriza los factores comunes de todos los términos para simplificar el polinomio tanto como sea posible. Si el polinomio puede simplificarse en una ecuación cuadrática, resuélvelo usando la fórmula cuadrática. Si no hay factores comunes, intenta agrupar los términos para ver si puedes simplificarlos más. También puedes buscar casos especiales como una suma de cubos o una diferencia de cubos, que también se pueden simplificar. Sigue leyendo para aprender a resolver un polinomio de grado superior con la división sintética.
Calculadora de resolución de ecuaciones polinómicas de grado superior
No hay una respuesta perfecta a esta pregunta. Para polinomios de hasta grado 4, existen fórmulas de solución explícitas similares a la de la ecuación cuadrática (las fórmulas de Cardano para ecuaciones de tercer grado, ver aquí, y la fórmula de Ferrari para grado 4, ver aquí).
Pero Jordan ha demostrado que cualquier ecuación algebraica puede resolverse utilizando funciones modulares. Existen fórmulas explícitas sin necesidad de utilizar Tschirnhausen u otras transformaciones. Sin embargo, la aplicación de este teorema en la práctica es muy difícil debido a la complejidad de las integrales hiperelípticas relevantes y de las funciones theta de género superior.
A veces, se necesita alguna información sobre el valor numérico. Normalmente no se necesita mucha: “$\alpha$ es la única solución de esa ecuación que está entre 3 y 4”, por ejemplo. Es bastante fácil obtener información aproximada por medios ad-hoc. El método de Newton puede utilizarse para mejorar las estimaciones, y determinar cuántas soluciones hay puede ayudar a asegurar que se ha encontrado todo.
Para entender este método se requiere un conocimiento de varias ramas del álgebra avanzada. Este método se estudia en Análisis Numérico y se explica para polinomios de grado cuatro, pero se generaliza a polinomios de mayor grado.
Resolución de ecuaciones cuadráticas con potencias superiores
En matemáticas, el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como teorema de imposibilidad de Abel) afirma que no hay solución en radicales para las ecuaciones polinómicas generales de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios. Aquí, general significa que los coeficientes de la ecuación se consideran y manipulan como indeterminados.
El teorema lleva el nombre de Paolo Ruffini, que hizo una demostración incompleta en 1799,[1] (que fue refinada y completada en 1813[2] y aceptada por Cauchy) y Niels Henrik Abel, que proporcionó una demostración en 1824.[3][4]
El teorema de Abel-Ruffini se refiere también al resultado ligeramente más fuerte de que hay ecuaciones de grado cinco y superior que no pueden resolverse mediante radicales. Esto no se deduce del enunciado del teorema de Abel, sino que es un corolario de su demostración, ya que ésta se basa en el hecho de que algunos polinomios de los coeficientes de la ecuación no son el polinomio cero. Esta afirmación mejorada se desprende directamente de la teoría de Galois § Un ejemplo quíntico no solucionable. La teoría de Galois implica también que