Resolver en línea
Dado un sistema de \ (n\) ecuaciones algebraicas lineales (SLAE) con \ (m\) incógnitas. Se pide resolver el sistema: determinar si no tiene solución, exactamente una solución o un número infinito de soluciones. Y en caso de que tenga al menos una solución, encontrar cualquiera de ellas.
El algoritmo es una eliminación secuencial de las variables en cada ecuación, hasta que cada ecuación sólo tenga una variable restante. Si \(n = m\), se puede pensar en transformar la matriz \(A\) en matriz identidad, y resolver la ecuación en este caso obvio, donde la solución es única y es igual al coeficiente \(b_i\).
En el primer paso, el algoritmo de Gauss-Jordan divide la primera fila por \ (a_{11}\). A continuación, el algoritmo añade la primera fila a las filas restantes de tal manera que los coeficientes en la primera columna se convierte en todos los ceros. Para ello, en la fila i-ésima, debemos sumar la primera fila multiplicada por \(- a_{i1}\). Tenga en cuenta que, esta operación también se debe realizar en el vector \(b\). En cierto sentido, se comporta como si el vector \(b\) fuera la \(m+1\)-ésima columna de la matriz \(A\).
Utiliza la eliminación gaussiana para resolver el sistema de ecuaciones calculadora
La resolución de sistemas lineales de tres variables y tres ecuaciones es más difícil, al menos al principio, que la resolución de sistemas de dos variables y dos ecuaciones, porque los cálculos son más complicados; hay muchas oportunidades para cometer errores por descuido. (Hablo por dolorosa experiencia.) Así que, cuando pases de los sistemas lineales de dos variables a situaciones más complicadas, tendrás que ser muy ordenado en tu trabajo, y deberías planear usar mucho papel de borrador. Mucho, mucho papel de borrador.
(La metodología para resolver estos sistemas de ecuaciones más grandes es una extensión del método de resolución por adición de dos variables, así que asegúrate de que conoces bien este método y puedes utilizarlo correctamente de forma consistente).
Aunque el método de solución se basa en la adición/eliminación, intentar hacer la adición real tiende a ser rápidamente confuso, por lo que existe un método sistematizado para resolver sistemas lineales de tres o más variables. Este método se llama “eliminación gaussiana”.
(Este método de solución lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss, aunque en realidad los europeos habían obtenido este método de Isaac Newton un par de siglos antes, quien lo había ideado de forma independiente unos mil quinientos años después de que los chinos lo hubieran desarrollado).
Resolver un sistema de ecuaciones lineales en matlab
Sistemas de ecuaciones linealesUna ecuación lineal es una ecuación de grado 1 o menos. En otras palabras, las ecuaciones lineales están formadas por uno o más términos que se suman o se restan y todos los términos deben estar compuestos por un número (llamado coeficiente, que puede ser 1) multiplicado por a lo sumo una variable sin exponente. Algunos ejemplos de tales términos son {eq}7x {/eq}, {eq}\tfrac{2}{3}y {/eq}, {eq}a {/eq}, y {eq}5 {/eq}.
Eliminación gaussianaUn sistema de ecuaciones lineales es una colección de dos o más ecuaciones lineales. Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar los valores de todas las variables, o si eso no es posible, encontrar las relaciones entre sus valores. En algunos casos, puedes encontrar que un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución. Hay muchas formas de resolver un sistema de ecuaciones lineales. Esta lección explorará sólo uno de estos métodos: La eliminación gaussiana. La eliminación gaussiana debe su nombre a Carl Friedrich Gauss, considerado uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. En la primera década del siglo XVIII, utilizó el método para calcular la órbita del planeta enano Ceres resolviendo un sistema de 17 ecuaciones lineales. Aunque lleva el nombre de Gauss (y fue popularizado por Wilhelm Jordan), en realidad el método era conocido por los chinos desde hacía siglos.
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Carl Friedrich Gauss vivió entre finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, pero todavía se le considera uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Sus contribuciones a la ciencia de las matemáticas y la física abarcan campos como el álgebra, la teoría de números, el análisis, la geometría diferencial, la astronomía y la óptica, entre otros. Sus descubrimientos sobre la teoría de matrices cambiaron la forma de trabajar de los matemáticos durante los dos últimos siglos.
Una matriz puede servir como dispositivo para representar y resolver un sistema de ecuaciones. Para expresar un sistema en forma de matriz, extraemos los coeficientes de las variables y las constantes, y éstas se convierten en las entradas de la matriz. Utilizamos una línea vertical para separar las entradas de los coeficientes de las constantes, sustituyendo esencialmente los signos de igualdad. Cuando un sistema se escribe de esta forma, lo llamamos matriz aumentada.
Observe que la matriz se escribe de forma que las variables se alinean en sus propias columnas: \Los términos de x van en la primera columna, los de y en la segunda y los de z en la tercera. Es muy importante que cada ecuación se escriba en la forma estándar \(ax+by+cz=d\) para que las variables se alineen. Cuando en una ecuación falta un término variable, el coeficiente es \(0\).