Resolver un sistema de ecuaciones lineales en matlab
Juan recibió una herencia de 12.000 dólares que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga un 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan un 4% de interés anual; y en fondos de inversión que pagan un 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, la principal herramienta que utilizaremos se llama eliminación gaussiana, que recibe su nombre del prolífico matemático alemán Karl Friedrich Gauss. Aunque no hay un orden definitivo en el que se deben realizar las operaciones, sí hay pautas específicas sobre el tipo de movimientos que se pueden hacer. Podemos numerar las ecuaciones para llevar la cuenta de los pasos que aplicamos. El objetivo es eliminar una variable cada vez para conseguir la forma triangular superior, que es la forma ideal para un sistema de tres por tres, ya que permite una sustitución posterior directa para encontrar una solución que llamamos triple ordenada. Un sistema en forma triangular superior tiene el siguiente aspecto:
Resolver un sistema de 5 ecuaciones
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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por la siguiente tripleta ordenada.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales puede aproximarse a menudo mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.
Solucionador de sistemas de ecuaciones
En álgebra lineal, hay muchos métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales en varias variables. La forma más sencilla es aplicar la sustitución para eliminar las variables una a una. Una técnica más avanzada es utilizar matrices. Ambos métodos pueden aplicarse a sistemas con más de tres variables. También puedes utilizar la calculadora de sistemas de ecuaciones de la izquierda. Basta con introducir los coeficientes y los términos constantes, y la calculadora mostrará el conjunto de soluciones únicas, si es que existe.
A veces el método de sustitución presentará ecuaciones que no pueden ser resueltas. Por ejemplo, si durante el proceso te encuentras con una ecuación tautológica como x = x o 2 = 2, significa que el sistema de ecuaciones no tiene un conjunto de soluciones único, sino infinitas soluciones. Si haces el álgebra y acabas con una ecuación falsa como 2 = 3, significa que el sistema no tiene soluciones. Ejemplos:
Para resolver un sistema de ecuaciones con álgebra matricial, hay que crear una matriz de 3 por 3 con los coeficientes de las ecuaciones, y una matriz de 3 por 1 con los términos constantes. Por ejemplo, si utilizamos el primer ejemplo de un sistema de ecuaciones, podemos establecer la ecuación matricial
Solucionador de sistemas de ecuaciones con pasos
Juan recibió una herencia de $12,000 que dividió en tres partes e invirtió de tres maneras: en un fondo del mercado monetario que paga 3% de interés anual; en bonos municipales que pagan 4% de interés anual; y en fondos mutuos que pagan 7% de interés anual. John invirtió 4.000 dólares más en fondos municipales que en bonos municipales. Ganó 670 dólares en intereses el primer año. ¿Cuánto invirtió Juan en cada tipo de fondo?
Entender el enfoque correcto para plantear problemas como éste hace que encontrar una solución sea cuestión de seguir un patrón. En esta sección resolveremos éste y otros problemas similares que implican tres ecuaciones y tres variables. Para ello se utilizan técnicas similares a las empleadas para resolver sistemas de dos ecuaciones en dos variables. Sin embargo, encontrar las soluciones de los sistemas de tres ecuaciones requiere un poco más de organización y un poco de gimnasia visual.
Para resolver sistemas de ecuaciones en tres variables, conocidos como sistemas de tres en tres, el objetivo principal es eliminar una variable cada vez para lograr la sustitución por la espalda. Una solución a un sistema de tres ecuaciones en tres variables [latex]\left(x,y,z\right),\text{}[/latex] se llama un triple ordenado.