Sistema lineal no homogéneo
Los sistemas de ecuaciones con más de dos variables son posibles. Una ecuación lineal en tres variables podría representarse por la ecuación ax + by + cz = k, donde a, b, c y k son constantes y x, y y z son variables. Para estos sistemas, el conjunto de soluciones contendría todas las tripletas de números que hacen que la ecuación sea verdadera. Para obtener la solución de cualquier sistema de ecuaciones, el número de incógnitas debe ser igual al número de ecuaciones disponibles. Así, para resolver un sistema en tres variables, deben existir tres ecuaciones diferentes que relacionen las incógnitas.
Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones en tres variables son análogos a los métodos utilizados para resolver un sistema de dos variables e incluyen la gráfica, la sustitución y la eliminación. Hay que tener en cuenta que las gráficas de estos sistemas se representan mediante planos geométricos en lugar de líneas. Las soluciones por sustitución y eliminación, aunque más complejas, son similares a las de los sistemas de dos variables.
Para los sistemas de ecuaciones con más de tres ecuaciones y tres incógnitas, los métodos de graficación y sustitución no son prácticos para determinar una solución. Las soluciones para este tipo de sistemas se determinan utilizando una invención matemática conocida como matriz. Una matriz se representa mediante una matriz rectangular de números escritos entre paréntesis. Cada número de una matriz se conoce como un elemento. Las matrices se clasifican por su número de filas y columnas.
Si un sistema lineal tiene más incógnitas que ecuaciones, entonces debe tener infinitas soluciones
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En matemáticas, un sistema de ecuaciones lineales o un sistema de ecuaciones polinómicas se considera subdeterminado si hay menos ecuaciones que incógnitas[1] (en contraste con un sistema sobredeterminado, donde hay más ecuaciones que incógnitas). La terminología puede explicarse utilizando el concepto de recuento de restricciones. Cada incógnita puede verse como un grado de libertad disponible. Cada ecuación introducida en el sistema puede verse como una restricción que limita un grado de libertad.
Por tanto, el caso crítico (entre sobredeterminado e infradeterminado) se produce cuando el número de ecuaciones y el número de variables libres son iguales. Para cada variable que da un grado de libertad, existe una restricción correspondiente que elimina un grado de libertad. Por el contrario, el caso infradeterminado se produce cuando el sistema está infra-restringido, es decir, cuando las incógnitas superan a las ecuaciones.
Sistema indeterminado
Los problemas prácticos en muchos campos de estudio -como la biología, la empresa, la química, la informática, la economía, la electrónica, la ingeniería, la física y las ciencias sociales- pueden reducirse a menudo a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales. El álgebra lineal surgió de los intentos de encontrar métodos sistemáticos para resolver estos sistemas, por lo que es natural comenzar este libro estudiando las ecuaciones lineales.
La ecuación lineal es una línea recta (si y no son ambos cero), por lo que tal ecuación se llama ecuación lineal en las variables y . Sin embargo, a menudo es conveniente escribir las variables como , particularmente cuando hay más de dos variables involucradas. Una ecuación de la forma
se llama ecuación lineal en las variables . Aquí denotan números reales (llamados coeficientes de , respectivamente) y es también un número (llamado término constante de la ecuación). Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables se llama sistema de ecuaciones lineales en dichas variables. Por lo tanto,
Un sistema puede no tener ninguna solución, o puede tener una solución única, o puede tener una familia infinita de soluciones. Por ejemplo, el sistema , no tiene solución porque la suma de dos números no puede ser 2 y 3 simultáneamente. Un sistema que no tiene solución se llama inconsistente; un sistema con al menos una solución se llama consistente.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales
Antes de adentrarnos en los sistemas subdeterminados, repasemos qué implica la resolución de un conjunto de ecuaciones lineales. La solución exacta de un sistema lineal Ax = b requiere que la matriz A sea cuadrada, es decir, con el mismo número de filas y columnas, e invertible. La solución de un sistema de este tipo requiere que x = A-1 * b, algo que cualquier software numérico puede resolver con facilidad.
Si el sistema está infradeterminado, es decir, con más incógnitas que ecuaciones, se obtiene una matriz en la que el número de columnas de A es mayor que el número de filas, por lo que sólo podemos aproximar la solución de dicho sistema. Un sistema subdeterminado tiene un número infinito de soluciones, así que dejemos que x’ sea una solución del sistema Ax’ = b
AAT se conoce como la matriz de Gramm y como se puede ver arriba debe ser invertible para que el sistema tenga una solución. Dado que tu matriz A tiene una fila de ceros se deduce que la matriz de Gramm AAT también tendrá una fila de ceros y por tanto es singular (no invertible):