Sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en las que las tasas de cambio se producen con respecto a las variables. Aprende a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por eliminación, utilizando un ejemplo paso a paso para reducir el sistema a una ecuación.
¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Una ecuación diferencial es una ecuación con derivadas. Una ecuación diferencial es lineal si no hay productos de variables dependientes y si todas las derivadas y variables dependientes están elevadas a la primera potencia. Cuando hay dos o más ecuaciones, tenemos un sistema. Este sistema está acoplado cuando en la misma ecuación hay diferentes variables dependientes.
Ahora, con los términos básicos fuera del camino, ¡vamos a resolver! Supongamos que tenemos dos variables dependientes, x e y, que representan la población de krills y yaks. Imagina que la tasa de variación de los yaks, dx/dt, depende negativamente del número de krills. Del mismo modo, en este mundo hipotético, la tasa de cambio de los krills, dy/dt, depende negativamente del número de yaks. Así, nuestro hipotético sistema acoplado de ecuaciones diferenciales lineales es:
Sistema de ecuaciones
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En la introducción de esta sección hemos discutido brevemente cómo puede surgir un sistema de ecuaciones diferenciales a partir de un problema de población en el que llevamos la cuenta de la población tanto de la presa como del depredador. Es lógico que el número de presas presentes afecte al número de depredadores presentes. Del mismo modo, el número de depredadores presentes afectará al número de presas presentes. Por lo tanto, la ecuación diferencial que gobierna la población de la presa o del depredador debe depender de alguna manera de la población del otro. Esto dará lugar a dos ecuaciones diferenciales que deben resolverse simultáneamente para determinar la población de la presa y del depredador.
Sistema de ecuaciones diferenciales lineales
Las ecuaciones diferenciales son ecuaciones en las que las tasas de cambio se producen con respecto a las variables. Aprende a resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales por eliminación, utilizando un ejemplo paso a paso para reducir el sistema a una ecuación.
¿Qué son las ecuaciones diferenciales? Una ecuación diferencial es una ecuación con derivadas. Una ecuación diferencial es lineal si no hay productos de variables dependientes y si todas las derivadas y variables dependientes están elevadas a la primera potencia. Cuando hay dos o más ecuaciones, tenemos un sistema. Este sistema está acoplado cuando en la misma ecuación hay diferentes variables dependientes.
Ahora, con los términos básicos fuera del camino, ¡vamos a resolver! Supongamos que tenemos dos variables dependientes, x e y, que representan la población de krills y yaks. Imagina que la tasa de variación de los yaks, dx/dt, depende negativamente del número de krills. Del mismo modo, en este mundo hipotético, la tasa de cambio de los krills, dy/dt, depende negativamente del número de yaks. Así, nuestro hipotético sistema acoplado de ecuaciones diferenciales lineales es:
Ecuación diferencial autónoma
En matemáticas, un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto finito de ecuaciones diferenciales. Este sistema puede ser lineal o no lineal. Además, puede ser un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones diferenciales parciales.
Quizá el ejemplo más famoso de un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales sean las ecuaciones de Navier-Stokes. A diferencia del caso lineal, la existencia de una solución de un sistema no lineal es un problema difícil (véase la existencia y suavidad de Navier-Stokes).
Por ejemplo, las condiciones de compatibilidad de un sistema sobredeterminado de ecuaciones diferenciales pueden enunciarse sucintamente en términos de formas diferenciales (es decir, una forma para ser exacta, necesita ser cerrada). Para más información, véanse las condiciones de integrabilidad de los sistemas diferenciales.