Álgebra 1
Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficas y sustituciones. La gráfica funciona bien cuando los coeficientes de las variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. La sustitución funciona bien cuando podemos resolver fácilmente una ecuación para una de las variables y no tener demasiadas fracciones en la expresión resultante.
El tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales se llama Método de Eliminación. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, empezamos con dos ecuaciones y dos variables y lo redujimos a una ecuación con una variable. Esto es lo que haremos también con el método de eliminación, pero tendremos una forma diferente de llegar a él.
El método de eliminación se basa en la propiedad de adición de la igualdad. La propiedad de adición de la igualdad dice que cuando se agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, se mantiene la igualdad. Extenderemos la propiedad de igualdad de la adición para decir que cuando se añaden cantidades iguales a ambos lados de una ecuación, los resultados son iguales.
Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, empezamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Luego decidimos qué variable será más fácil de eliminar. ¿Cómo lo decidimos? Queremos que los coeficientes de una variable sean opuestos, para poder sumar las ecuaciones y eliminar esa variable.
Método de sustitución
Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales por medio de gráficos y por sustitución. La gráfica funciona bien cuando los coeficientes de las variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. La sustitución funciona bien cuando podemos resolver fácilmente una ecuación para una de las variables y no tener demasiadas fracciones en la expresión resultante.
El tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales se llama Método de Eliminación. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, empezamos con dos ecuaciones y dos variables y lo redujimos a una ecuación con una variable. Esto es lo que haremos también con el método de eliminación, pero tendremos una forma diferente de llegar a él.
El método de eliminación se basa en la propiedad de adición de la igualdad. La propiedad de adición de la igualdad dice que cuando se agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, se mantiene la igualdad. Extenderemos la propiedad de igualdad de la adición para decir que cuando se añaden cantidades iguales a ambos lados de una ecuación, los resultados son iguales.
Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, empezamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Luego decidimos qué variable será más fácil de eliminar. ¿Cómo lo decidimos? Queremos que los coeficientes de una variable sean opuestos, para poder sumar las ecuaciones y eliminar esa variable.
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En primer lugar, echemos un vistazo a nuestro sistema y recordemos en qué consiste el método de eliminación. Para eliminar una variable (ya sea #x# o #y#), tenemos que multiplicar las distintas ecuaciones del sistema para obtener el mínimo común múltiplo. Una ecuación debe ser positiva y la otra negativa para que se anulen entre sí. El mínimo común múltiplo de #12# y #8# es #24#, así que multiplico la primera ecuación del sistema por #2# para llegar a #24x#, y la segunda ecuación por #-3# para obtener #-24x# y anular la positiva #24x#.
Propiedades de las potencias
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que se resuelven colectivamente (juntas). El sistema lineal básico está compuesto por dos ecuaciones lineales con dos variables. Recuerda que las ecuaciones lineales son ecuaciones que representan líneas rectas cuando se grafican.
El objetivo del método de sustitución es eliminar completamente una de las dos variables del sistema lineal sustituyéndola por una expresión equivalente. Este objetivo se logra resolviendo una variable de una ecuación y colocándola en la otra ecuación.
El objetivo del método de eliminación es crear una situación en la que un conjunto de las variables se anule al sumar o restar las ecuaciones. Puede ser necesario, con este método, crear coeficientes para estas variables que sean iguales (o negativos), para hacer posible la cancelación. Este proceso de creación se realiza multiplicando a través de las ecuaciones.
qué variable (“x” o “y”) será más fácil de cancelar (eliminar). Para que se produzca una cancelación (o eliminación), los coeficientes de las variables (los números delante de las variables) deben ser iguales o negativos entre sí. En este ejemplo, los valores de y se cancelarán más fácilmente cuando se sumen las ecuaciones.