Hoja de trabajo de resolución de sistemas mediante gráficos, sustitución y eliminación
Las gráficas de las ecuaciones lineales son siempre líneas rectas, por lo que la sustitución puede ser una forma fácil de dibujar la gráfica. En esta lección, exploraremos cómo encontrar y usar los puntos que necesitas, ¡para que graficar ecuaciones lineales sea fácil!
¿Qué es una ecuación lineal? La gráfica de una ecuación lineal es siempre una línea recta, lo que hace que sea realmente fácil de graficar si sólo puedes sustituir algunos valores en la fórmula. Es una especie de situación “plug and play”, en la que introduces los valores y ves lo que sale. En esta lección, practicaremos la introducción de valores y veremos cómo son las gráficas resultantes. Una ecuación lineal es una relación entre dos o más valores cuya gráfica es una línea recta. Cualquier variable en la ecuación tendrá un exponente de 1, lo que significa que el exponente no aparecerá en absoluto. Como la gráfica es una línea recta, puedes encontrar sólo dos puntos, conectarlos con una línea recta, ¡y tienes la gráfica!
La forma pendiente-interceptoUna forma de ver las ecuaciones lineales será en la forma pendiente-intercepto, o y = mx + b, donde x e y son las variables y m y b son números que ayudan a definir la relación. Por ejemplo, si tienes la ecuación y = 2x + 4, eso significa que para este conjunto particular de pares x e y, la pendiente es 2, lo que significa que la gráfica subirá o bajará dos veces más rápido de lo que avanza. La intersección de y es 4, lo que significa que si x es 0, y acabará siendo 4 y la gráfica cruzará la intersección de y en y=4. Así que vamos a probar un par de sustituciones para la ecuación. Tal vez quieras empezar con x = 0, ya que es una ecuación fácil. Paso 1: y = 2x + 4 (ecuación original) Paso 2: y = 2 (0) + 4 (sustituye la x por el cero) Paso 3: y = 4 (simplifica y resuelve) Así que podemos ver que y es 4 cuando x = 0, lo que nos da un punto para nuestra gráfica (0, 4). Ahora necesitamos otro. Elijamos uno un poco más a la derecha, quizá x = 3. Paso 1: y = 2x + 4 (ecuación original) Paso 2: y = 2 (3) + 4 (sustituye x por 3) Paso 3: y = 10 (simplifica y resuelve) Ahí está nuestro segundo punto (3, 10). Bien, vamos a graficarlo.
28-2-18 clave de respuestas de graficación vs. sustitución
En Resolución de ecuaciones e inecuaciones lineales aprendimos a resolver ecuaciones lineales con una variable. Recuerda que la solución de una ecuación es un valor de la variable que hace una declaración verdadera cuando se sustituye en la ecuación.
Una ecuación lineal en dos variables, como 2x + y = 7, tiene un número infinito de soluciones. Su gráfica es una recta. Recuerda que cada punto de la recta es una solución de la ecuación y que cada solución de la ecuación es un punto de la recta.
Para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales, queremos encontrar los valores de las variables que son soluciones de ambas ecuaciones. En otras palabras, buscamos los pares ordenados (x, y) que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. Son las soluciones de un sistema de ecuaciones.
Para determinar si un par ordenado es una solución de un sistema de dos ecuaciones, sustituimos los valores de las variables en cada ecuación. Si el par ordenado hace que ambas ecuaciones sean verdaderas, es una solución del sistema.
La gráfica de una ecuación lineal es una recta. Cada punto de la recta es una solución de la ecuación. Para un sistema de dos ecuaciones, graficaremos dos rectas. Así podremos ver todos los puntos que son soluciones de cada ecuación. Y, al encontrar lo que las rectas tienen en común, encontraremos la solución del sistema.
Método de sustitución
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante gráficas es una buena manera de visualizar los tipos de soluciones que pueden resultar. Sin embargo, hay muchos casos en los que la resolución de un sistema mediante una gráfica es inconveniente o imprecisa. Si las gráficas se extienden más allá de la pequeña cuadrícula con x e y ambas entre -10 y 10, graficar las líneas puede ser engorroso. Y si las soluciones del sistema no son números enteros, puede ser difícil leer sus valores con precisión en una gráfica.
Después de encontrar el valor de una variable, sustituiremos ese valor en una de las ecuaciones originales y resolveremos la otra variable. Por último, comprobamos nuestra solución y nos aseguramos de que hace ciertas ambas ecuaciones.
Copiaremos aquí la estrategia de resolución de problemas que utilizamos en la sección Resolución de sistemas de ecuaciones mediante gráficos para resolver sistemas de ecuaciones. Ahora que sabemos cómo resolver sistemas por sustitución, eso es lo que haremos en el Paso 5.
A algunas personas les resulta más fácil plantear problemas de palabras con dos variables que con una sola. La elección de los nombres de las variables es más fácil cuando todo lo que hay que hacer es escribir dos letras. Piensa en el siguiente ejemplo: ¿cómo lo habrías hecho con una sola variable?
Calculadora de sustitución gráfica
Tenemos otro ejemplo en el que el sistema de ecuaciones original se resuelve fácilmente utilizando la sustitución. En este caso, ambas ecuaciones ya están resueltas para una variable; por lo tanto, podemos sustituir una expresión por y y ¡resolver! Observa que tenemos una ecuación con variables en ambos lados.
Veamos otro ejemplo en el que encontrarás que no puedes resolver el sistema. ¿Qué ocurre cuando no puedes resolver? ¡No tendrás solución! Presta mucha atención al último paso de la solución.
¡Tenemos un problema! 6x- 6x = 0. Como mis términos de x se anulan, nos queda 4 = -8. Esta no es una afirmación verdadera, por lo que no es una solución. Esto significa que NO HAY SOLUCIÓN para este sistema de ecuaciones. ¿Puedes imaginar qué tipo de gráfico representa este sistema? Este es un ejemplo de lo que ocurrirá si utilizas el método de sustitución y no hay soluciones. El resultado final no tendrá sentido.