Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales no lineales
En matemáticas, el teorema de existencia de Carathéodory dice que una ecuación diferencial ordinaria tiene solución bajo condiciones relativamente suaves. Es una generalización del teorema de existencia de Peano. El teorema de Peano requiere que el lado derecho de la ecuación diferencial sea continuo, mientras que el teorema de Carathéodory muestra la existencia de soluciones (en un sentido más general) para algunas ecuaciones discontinuas. El teorema lleva el nombre de Constantin Carathéodory.
En este caso, la función no es diferenciable. Esto sugiere que la idea de solución se extienda para permitir soluciones que no son diferenciables en todas partes, lo que motiva la siguiente definición
si y es absolutamente continua, y satisface la ecuación diferencial en casi todas partes y satisface la condición inicial.[2] La continuidad absoluta de y implica que su derivada existe en casi todas partes.[3]
se supone que son integrables en todo intervalo finito. Entonces, el lado derecho de la ecuación diferencial satisface las condiciones de Carathéodory y existe una solución única al problema de valor inicial[7].
Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales
ResumenEste trabajo se dedica principalmente a estudiar un tipo de ecuación diferencial de segundo orden. Bajo la condición de valor de contorno periódico-integrable, se discute la existencia de las soluciones de esta ecuación mediante el método de la teoría de operadores y el teorema del punto fijo de Schauder.
En la sección 2, introducimos dos lemas que se utilizarán en secciones posteriores. En la Sección 3, el problema lineal se discutirá mediante la teoría de la ecuación diferencial ordinaria, por lo que se demuestra la unicidad de las soluciones de las ecuaciones lineales. En las secciones 4 y 5, aplicamos las conclusiones de las secciones 2 y 3 y el teorema del punto fijo de Schauder para demostrar los teoremas 1 y 2. En la sección 6, como aplicaciones de los resultados principales, introducimos dos ejemplos.PreliminaresEnunciemos primero algunos lemas que se utilizarán en la demostración de los resultados principales.
Caso 1. \(x(0)=\eta<0\). Sea \(t_{0} = {operación{inf}{t| t\in[0,{2\pi}]}\mbox{ y } x(t)=0\}}, lo que implica que \(x(t_{0})=0 \mbox{ y } x'(t_{0})>0\). Definamos \(t_{star} ={operador} {inf} {t | t\in(t_{0},{2\pi}]}mbox{ y }x(t)=0\}). Si \(t_{star}= t_{0}\), entonces existirán las secuencias \(\{t^{i}\}), \(x(t^{i})= 0\} como \(t^{i}\}arrow t_{0}\)
Enunciar y demostrar el teorema de existencia y unicidad
El objetivo de este trabajo es estudiar la existencia y unicidad de la solución periódica en algún espacio de funciones apropiado. El propósito de este trabajo es estudiar la existencia y unicidad de soluciones periódicas en un espacio de funciones apropiado. Para ser precisos, primero derivamos un resultado de existencia y unicidad, cuando la no linealidad es una función con respecto a . A continuación, se obtiene un resultado similar relativo a la existencia de soluciones periódicas, cuando la no linealidad no es una función.A lo largo de este trabajo utilizamos los siguientes supuestos.(A1)Existen dos funciones continuas y tales que, para todo ,
A continuación presentamos nuestros principales resultados de este trabajo.Teorema 1. Sean válidas las hipótesis (A1) y (A2). Entonces (1) tiene una solución única -periódica.Observación 2. Señalamos que la condición de (A1) es necesaria. Tomemos la siguiente ecuación, por ejemplo:
Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de orden superior
\Comienza… \quad \frac{d^2y}{dt^2} + \left ( \frac{3t}{t^2 – 4t} \right ) \frac{dy}{dt} + \left ( \frac{4}{t^2 – 4t} \right )y = \left ( \frac{2}{t^2 – 4} \right ) \quad \frac{d^2y}{dt^2} + \left ( \frac{3t}{t(t – 4)} \right ) \frac{dy}{dt} + \left ( \frac{4}{t(t-4)} \right )y = \left ( \frac{2}{t(t-4)} \right ) \fin {align}
Observación 1: En los dos ejemplos anteriores, necesitábamos que la ecuación diferencial de segundo orden tuviera la forma adecuada $\frac{d^2y}{dt^2} + p(t) \frac{dy}{dt} + q(t)y = g(t)$ para poder aplicar el Teorema 1. Si aplicáramos el Teorema 1 sin las ecuaciones diferenciales de segundo orden de arriba en la forma correcta, entonces no obtendríamos intervalos correctos para los que se garantiza una solución única.