Derivación de la ecuación de la parábola
Podemos trasladar la parábola verticalmente para producir una nueva parábola que es similar a la parábola básica. La función \(y=x^2+b\) tiene una gráfica que simplemente se parece a la parábola estándar con el vértice desplazado \(b\) unidades a lo largo del eje \(y\). Por lo tanto, el vértice se encuentra en \((0,b)\N-). Si \(b\) es positivo, la parábola se mueve hacia arriba y, si \(b\) es negativo, se mueve hacia abajo.
Del mismo modo, podemos trasladar la parábola horizontalmente. La función \(y=(x-a)^2\) tiene una gráfica que se parece a la parábola estándar con el vértice desplazado \(a\) unidades a lo largo del eje \(x\). El vértice se encuentra entonces en \((a,0)\Nla parábola.) Observa que, si \(a\) es positivo, nos desplazamos a la derecha y, si \(a\) es negativo, nos desplazamos a la izquierda.
En el módulo Repaso de álgebra , revisamos la importantísima técnica de completar el cuadrado. Este método se puede aplicar ahora a las cuadráticas de la forma \(y=x^2+qx+r\), que son congruentes con la parábola básica, para encontrar su vértice y dibujarlas rápidamente.
Por supuesto, podemos encontrar el vértice de una parábola utilizando el cálculo, ya que la derivada será cero en la coordenada \(x\) del vértice. Sin embargo, hay que encontrar la coordenada \ (y), por lo que completar el cuadrado suele ser mucho más rápido.
Tipos de nombres de parábolas
La gráfica de una ecuación cuadrática en dos variables (y = ax2 + bx + c ) se llama parábola. Las siguientes gráficas son dos parábolas típicas: sus intersecciones x están marcadas con puntos rojos, sus intersecciones y están marcadas con un punto rosa y el vértice de cada parábola está marcado con un punto verde:
Decimos que la primera parábola se abre hacia arriba (es una forma de U) y la segunda se abre hacia abajo (es una forma de U invertida). Para graficar una parábola necesitamos encontrar sus interceptos, su vértice y hacia dónde se abre.
Fíjate en que las intersecciones x de cualquier gráfica son puntos en el eje x y, por tanto, tienen coordenada y 0. Podemos encontrar estos puntos sustituyendo y por 0 y resolviendo la ecuación cuadrática resultante (0 = ax2 + bx + c). Si la ecuación es factorial podemos encontrar los puntos fácilmente, pero puede que tengamos que utilizar la fórmula cuadrática en algunos casos. Si las soluciones son imaginarias, significa que la parábola no tiene intersecciones en x (está estrictamente por encima o por debajo del eje x y nunca lo cruza). Si las soluciones son reales, pero irracionales (radicales), entonces tenemos que aproximar sus valores y graficarlos.
Parábola pdf notas
En matemáticas, una parábola es una curva plana con simetría de espejo y aproximadamente en forma de U. Se ajusta a varias descripciones matemáticas superficialmente diferentes, pero se puede demostrar que todas ellas definen exactamente las mismas curvas.
Una de las descripciones de una parábola implica un punto (el foco) y una línea (la directriz). El foco no se encuentra en la directriz. La parábola es el lugar de los puntos en ese plano que son equidistantes tanto de la directriz como del foco. Otra descripción de una parábola es como una sección cónica, creada a partir de la intersección de una superficie cónica circular recta y un plano paralelo a otro plano que es tangente a la superficie cónica[a].
La línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco (es decir, la línea que divide la parábola por el medio) se llama “eje de simetría”. El punto en el que la parábola se cruza con su eje de simetría se llama “vértice” y es el punto en el que la parábola se curva de forma más pronunciada. La distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de simetría, es la “distancia focal”. El “latus rectum” es la cuerda de la parábola que es paralela a la directriz y pasa por el foco. Las parábolas pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha o en cualquier otra dirección arbitraria. Cualquier parábola puede ser reposicionada y reescalada para encajar exactamente en cualquier otra parábola, es decir, todas las parábolas son geométricamente similares.
Tabla de fórmulas de parábola
Al igual que otras gráficas con las que hemos trabajado, la gráfica de una parábola se puede trasladar. Si una parábola se traslada [latex]h[/latex] unidades horizontalmente y [latex]k[/latex] unidades verticalmente, el vértice será [latex]\left(h,k\right)[/latex]. Esta traslación da como resultado la forma estándar de la ecuación que vimos anteriormente con [latex]x[/latex] sustituida por [latex]\left(x-h\right)[/latex] y [latex]y[/latex] sustituida por [latex]\left(y-k\right)[/latex].
Para graficar parábolas con un vértice [latex]\left(h,k\right)[/latex] distinto del origen, utilizamos la forma estándar [latex]{\left(y-k\right)}^{2}=4p\left(x-h\right)[/latex] para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje x, y [latex]{\left(x-h\right)}^{2}=4p\left(y-k\right)[/latex] para parábolas que tienen un eje de simetría paralelo al eje y. Estas formas estándar se dan a continuación, junto con sus gráficos generales y características clave.
(a) Cuando [latex]p>0[/latex], la parábola se abre hacia la derecha. (b) Cuando [latex]p<0[/latex], la parábola se abre hacia la izquierda. (c) Cuando [latex]p>0[/latex], la parábola se abre hacia arriba. (d) Cuando [latex]p<0[/latex], la parábola se abre hacia abajo.