Función vectorial
La magnitud de una fórmula vectorial ayuda a resumir el valor numérico de un vector determinado. Un vector tiene una dirección y una magnitud. Las medidas individuales del vector a lo largo de los ejes x, y y z se resumen utilizando esta fórmula de magnitud de un vector. Se denota por |v|. La magnitud de un vector es siempre un número positivo o cero, es decir, no puede ser un número negativo. Entendamos la fórmula de la magnitud de un vector usando algunos ejemplos resueltos al final.
La magnitud de un vector A es la longitud del vector y se denota por |A|. Es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes del vector. Para un vector dado con relaciones de dirección a lo largo de los ejes x, y y z, la magnitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus relaciones de dirección. Esto puede entenderse claramente a partir de la siguiente fórmula de la magnitud de un vector.
La magnitud de un vector se refiere a la longitud o tamaño del vector. También determina su dirección. Los conceptos detrás de estas fórmulas incluyen el teorema de Pitágoras y la fórmula de la distancia, que se utilizan para derivar la fórmula de la magnitud del vector.
Ecuación vectorial
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección tenemos que echar un vistazo a la ecuación de una línea en \ ({\mathbb{R}^3}\). Como vimos en la sección anterior la ecuación \ (y = mx + b\) no describe una línea en \({\mathbb{R}^3}), en su lugar describe un plano. Sin embargo, esto no significa que no podamos escribir una ecuación para una recta en el espacio tridimensional. Sólo vamos a necesitar una nueva forma de escribir la ecuación de una curva.
Así que, antes de entrar en las ecuaciones de las rectas, tenemos que ver brevemente las funciones vectoriales. Más adelante profundizaremos en las funciones vectoriales. En este punto, lo único que nos debe preocupar son las cuestiones notacionales y cómo se pueden utilizar para dar la ecuación de una curva.
Representación paramétrica de la línea recta
Las ecuaciones vectoriales se utilizan para representar la ecuación de una recta o un plano con la ayuda de las variables x, y, z. La ecuación vectorial define la ubicación de la recta o el plano en el marco tridimensional. La ecuación vectorial de una recta es r = a + λb, y la ecuación vectorial de un plano es r.n = d.
Las ecuaciones vectoriales se utilizan para representar las líneas o los planos en un marco tridimensional. El plano tridimensional requiere tres coordenadas con respecto al triple eje y aquí los vectores son útiles para representar fácilmente la ecuación vectorial de una línea o un plano. En un marco tridimensional el vector unitario a lo largo del eje x es \(\hat i \), el vector unitario a lo largo del eje y es \(\hat j\), y el vector unitario a lo largo del eje z es \(\hat k\). Las ecuaciones vectoriales se escriben con \(\hat i\), \(\hat j\), \(\hat k\) y se pueden representar geométricamente en el plano tridimensional. La forma más sencilla de ecuación vectorial de una recta es \(\vec r = \vec a + λ\vec b\) y la ecuación vectorial de un plano es \(\overrightarrow r. \hat n\) = d.
Cómo encontrar la ecuación vectorial de una línea
Ya estamos familiarizados con la escritura de ecuaciones que describen una recta en dos dimensiones. Para escribir una ecuación de una recta, debemos conocer dos puntos de la misma, o bien conocer la dirección de la recta y al menos un punto por el que pasa la recta. En dos dimensiones, utilizamos el concepto de pendiente para describir la orientación, o dirección, de una recta. En tres dimensiones, describimos la dirección de una recta mediante un vector paralelo a la misma. En esta sección examinaremos cómo utilizar las ecuaciones para describir líneas y planos en el espacio.
Exploremos primero lo que significa que dos vectores sean paralelos. Recordemos que los vectores paralelos deben tener direcciones iguales u opuestas. Si dos vectores no nulos, y son paralelos, afirmamos que debe haber un escalar, tal que Si y tienen la misma dirección, simplemente elija Si y tienen direcciones opuestas, elija Tenga en cuenta que la inversa también es válida. Si para algún escalar entonces o bien y tienen la misma dirección o direcciones opuestas por lo que y son paralelos. Por lo tanto, dos vectores distintos de cero y son paralelos si y sólo si para algún escalar Por convención, se considera que el vector cero es paralelo a todos los vectores.