Ecuación diferencial térmica
\(q(\ell,\xi), q(\ell,\xi)\Nen C ( [ \ell_{0},\infty ) \Nveces{c,d],\mathbb{R} ), q(\ell,\xi)\Nes positiva, \(g(\ell, \xi)\Nes una función no decreciente en ξ, \(g(\ell,\xi)\Nleq\ell), y \N(underset{ell \rightarrow \infty}{lim}g(\ell,\xi)=\infty\).
Supongamos que (1.1) tiene una solución no oscilante y. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que \(y ( \ell ) >0\). Se desprende de (1.1) que existen dos casos posibles para \(\ell\q\ell _{1}\), donde \(\ell_{1}\q\ell_{0}\) es suficientemente grande:
Obsérvese que \(\gamma=3, n=4, b ( \ell ) =\mathbf{e}^{3\ell }\), \(q ( \ell,\xi ) =\ell\mathbf{e}^{\ell(\xi+3)}/ ( \mathbf{e}^{\ell}-1 )\), \(c=0, d=1\), \(g ( \ell,c ) =\ell, R(\ell)=\mathbf{e}^{-\ell}\), y \(Q ( \ell ) =\mathbf{e}^{3\ell}\). Si elegimos \(\delta ( \ell ) =1\), entonces es fácil ver que las condiciones (2.1) y (2.2) se mantienen. Por lo tanto, por el Teorema 2.1, toda solución de la ecuación (3.1) es oscilante.
donde \(\nu>0\) es una constante. Nótese que \(\gamma=1, n=4, b ( \ell ) =\ell^{3}, q ( \ell, \xi ) =\xi\nu/\ell, c=0, d=1\), \(g ( \ell,c ) =\ell/2,Q ( \ell ) =\nu /2\ell\), y \(R ( \ell ) =1/2s^{2}\). Si fijamos \(\delta ( \ell ) =1\ell), entonces tenemos
Ecuación diferencial lineal de segundo orden
Las ecuaciones que aparecen en las aplicaciones suelen ser de segundo orden, aunque de vez en cuando aparecen ecuaciones de orden superior. De ahí que se asuma generalmente que el mundo es de “segundo orden” desde la perspectiva de la física moderna. Los resultados básicos sobre las EDOs lineales de orden superior son esencialmente los mismos que para las ecuaciones de segundo orden, con el 2 sustituido por \(n\). El importante concepto de independencia lineal es algo más complicado cuando intervienen más de dos funciones.
Para las EDO de coeficiente constante de orden superior, los métodos son también algo más difíciles de aplicar, pero no nos detendremos en estas complicaciones. Siempre podemos utilizar los métodos para sistemas de ecuaciones lineales para resolver ecuaciones de coeficiente constante de orden superior. Empecemos, pues, con una ecuación lineal homogénea general:
En otras palabras, una combinación lineal de soluciones de la ecuación \ref{2.3.1} es también una solución de la ecuación \ref{2.3.1}. También tenemos el teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales no homogéneas.
Cuando teníamos dos funciones \(y_1\) y \(y_2\) decíamos que eran linealmente independientes si una no era múltiplo de la otra. La misma idea es válida para las funciones \(n\). En este caso es más fácil afirmar lo siguiente. Las funciones \(y_1, y_2, \dots , y_n\) son linealmente independientes si
Ecuación diferencial lineal
De acuerdo con el teorema fundamental del álgebra, un polinomio de grado \(n\) tiene exactamente \(n\) raíces, contando la multiplicidad. En este caso las raíces pueden ser tanto reales como complejas (aunque todos los coeficientes de \({a_1},{a_2}, \ldots ,{a_n}) sean reales).
Suponemos que la ecuación característica \(L\left( \lambda \right) = 0\) tiene \(n\) raíces \({\lambda _1},{\lambda _2}, \ldots ,{\lambda _n}.\) En este caso la solución general de la ecuación diferencial se escribe de forma sencilla:
Que la ecuación característica \left( \lambda \right) = 0\) de grado \(n\) tenga \(m\) raíces \({\lambda _1},{\lambda _2}, \ldots ,{\lambda _m},\) cuya multiplicidad, respectivamente, es igual a \({k_1},{k_2}, \ldots ,{k_m}.\) Es evidente que se cumple la siguiente condición:
Se ve que la fórmula de la solución general tiene exactamente \({k_i}) términos correspondientes a cada raíz \({\lambda _i}) de multiplicidad \({k_i}. \Estos términos se forman multiplicando \(x\) hasta un cierto grado por la función exponencial \({e^{lambda _i}x}.\) El grado de \(x\) varía en el rango de \(0\) a \({k_i} – 1,\) donde \({k_i} es la multiplicidad de la raíz \({lambda _i}.\)
Ecuación diferencial lineal de primer orden
Por lo que he experimentado en el campo real en el que usamos varios tipos de software de ingeniería en lugar de lápiz y bolígrafo para manejar varios problemas de la vida real modelados por ecuaciones diferenciales. Esto sería un tema muy importante pero no he visto casi ningún libro de texto que toque este tipo de temas en detalle. En muchos casos, sólo muestran el resultado final (un montón de ecuaciones de primer orden).
Puede haber varias formas de conversión, pero mi truco es el siguiente. Primero, busco el orden de la ecuación y reemplazo todos los términos de orden inferior con variables diferentes. Como esta es una ecuación diferencial de 3er orden, reemplazaré el 2do, 1er y 0mo término con otras variables como se muestra a continuación.
También puedes hacer este proceso de sustitución como se muestra a continuación. El método mostrado arriba te dará el significado matemático del proceso de reemplazo, pero una vez que entiendas completamente el significado matemático, el método mostrado abajo será un atajo práctico para este proceso.
Como ves arriba, he reemplazado el término de orden 0, 1 y 2 con x1,x2,x3 respectivamente. Si introducimos estas variables en la ecuación original y hacemos un pequeño reordenamiento, obtenemos la siguiente ecuación.