Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de igualación
Hemos resuelto sistemas de ecuaciones lineales por graficación y por sustitución. La gráfica funciona bien cuando los coeficientes de las variables son pequeños y la solución tiene valores enteros. La sustitución funciona bien cuando podemos resolver fácilmente una ecuación para una de las variables y no tener demasiadas fracciones en la expresión resultante.
El tercer método para resolver sistemas de ecuaciones lineales se llama Método de Eliminación. Cuando resolvimos un sistema por sustitución, empezamos con dos ecuaciones y dos variables y lo redujimos a una ecuación con una variable. Esto es lo que haremos también con el método de eliminación, pero tendremos una forma diferente de llegar a él.
El método de eliminación se basa en la propiedad de adición de la igualdad. La propiedad de adición de la igualdad dice que cuando se agrega la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, se mantiene la igualdad. Extenderemos la propiedad de igualdad de la adición para decir que cuando se añaden cantidades iguales a ambos lados de una ecuación, los resultados son iguales.
Para resolver un sistema de ecuaciones por eliminación, empezamos con ambas ecuaciones en forma estándar. Luego decidimos qué variable será más fácil de eliminar. ¿Cómo lo decidimos? Queremos que los coeficientes de una variable sean opuestos, para poder sumar las ecuaciones y eliminar esa variable.
Sistemas de ecuaciones lineales, nº 1
Las ecuaciones cuadráticas son expresiones algebraicas de segundo grado y son de la forma ax2 + bx + c = 0. La palabra “cuadrática” se deriva de la palabra “Quad” que significa cuadrado. En otras palabras, una ecuación cuadrática es una “ecuación de grado 2”. Hay muchos escenarios en los que se utiliza una ecuación cuadrática. ¿Sabías que cuando se lanza un cohete, su trayectoria se describe mediante una ecuación cuadrática? Además, una ecuación cuadrática tiene numerosas aplicaciones en física, ingeniería, astronomía, etc.
Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones de segundo grado en x que tienen como máximo dos respuestas para x. Estas dos respuestas para x se llaman también raíces de las ecuaciones cuadráticas y se designan como (α, β). Aprenderemos más sobre las raíces de una ecuación cuadrática en el siguiente contenido.
Una ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado en x. La ecuación cuadrática en su forma estándar es ax2 + bx + c = 0, donde a y b son los coeficientes, x es la variable y c es el término constante. La primera condición para que una ecuación sea cuadrática es que el coeficiente de x2 sea un término distinto de cero (a ≠0). Para escribir una ecuación cuadrática en forma estándar, se escribe primero el término de x2, seguido del término de x y, por último, se escribe el término constante. Los valores numéricos de a, b, c generalmente no se escriben como fracciones o decimales sino que se escriben como valores integrales.
ÁLGEBRA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON
El concepto de Índices o potencias se utiliza mucho en Aritmética, Trigonometría, Álgebra y otras ramas de las Matemáticas. Un ejemplo de índices es $2^4=16$. En el texto a mano, esto se puede describir como que 2 a la potencia 4 es igual a 16.
Conociendo el primer concepto básico, e intuyendo que las bases de los tres términos están en potencias de 2, deducimos que si transformamos las bases de los dos lados de la ecuación al mismo valor 2, las potencias serán iguales. En consecuencia, obtendríamos una ecuación lineal en una sola variable. Encontrar el valor de la variable desconocida será entonces un simple paso más.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR EL MÉTODO DE EQUILIBRIO
En matemáticas, el método de igualación de los coeficientes es una forma de resolver una ecuación funcional de dos expresiones, como los polinomios, para un número de parámetros desconocidos. Se basa en el hecho de que dos expresiones son idénticas precisamente cuando los coeficientes correspondientes son iguales para cada tipo de término. El método se utiliza para llevar las fórmulas a la forma deseada.
En este punto es esencial darse cuenta de que el polinomio 1 es de hecho igual al polinomio 0x2 + 0x + 1, teniendo coeficientes nulos para las potencias positivas de x. Igualando los coeficientes correspondientes se obtiene ahora este sistema de ecuaciones lineales:
Para comprobar si la tercera ecuación depende linealmente de las dos primeras, postula dos parámetros a y b tales que a por la primera ecuación más b por la segunda ecuación sea igual a la tercera ecuación. Como esto siempre se cumple para los lados derechos, todos los cuales son 0, sólo tenemos que exigir que también se cumpla para los lados izquierdos:
El único par de valores a, b que satisface las dos primeras ecuaciones es (a, b) = (1, 1); puesto que estos valores también satisfacen la tercera ecuación, de hecho existen a, b tales que a por la primera ecuación original más b por la segunda ecuación original es igual a la tercera ecuación original; concluimos que la tercera ecuación depende linealmente de las dos primeras.