Ejemplos de fracciones de funciones exponenciales
Hemos resuelto ecuaciones lineales, ecuaciones racionales, ecuaciones radicales y ecuaciones cuadráticas utilizando varios métodos. Sin embargo, hay muchos otros tipos de ecuaciones, como las ecuaciones que implican exponentes racionales, ecuaciones polinómicas, ecuaciones de valor absoluto, ecuaciones en forma cuadrática y algunas ecuaciones racionales que pueden transformarse en cuadráticas. Sin embargo, para resolver cualquier ecuación se emplean las mismas reglas algebraicas básicas.
Los exponentes racionales son exponentes que son fracciones, donde el numerador es una potencia y el denominador es una raíz. Por ejemplo, \({16}^{tfrac{1}{2}}) es otra forma de escribir \(\sqrt{16}\); \(8^{tfrac{1}{3}\) es otra forma de escribir \(\sqrt[3]{8}\). La capacidad de trabajar con exponentes racionales es una habilidad útil, ya que es muy aplicable en el cálculo.
Las ecuaciones en las que una expresión variable se eleva a un exponente racional pueden resolverse elevando ambos lados de la ecuación al recíproco del exponente. La razón por la que la expresión se eleva al recíproco de su exponente es porque el producto de un número por su recíproco es uno. Por lo tanto, el exponente en la expresión de la variable se convierte en uno y así se elimina.
Cómo resolver los exponentes
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Ahora que hemos visto las definiciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, tenemos que empezar a pensar en cómo resolver ecuaciones que las involucran. En esta sección veremos la resolución de ecuaciones exponenciales y veremos la resolución de ecuaciones logarítmicas en la siguiente sección.
Hay dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. Un método es bastante sencillo pero requiere una forma muy especial de la ecuación exponencial. El otro funciona con ecuaciones exponenciales más complicadas, pero a veces puede ser un poco complicado.
Ahora bien, en este caso no tenemos la misma base por lo que no podemos simplemente poner los exponentes iguales. Sin embargo, con un poco de manipulación del lado derecho podemos obtener la misma base en ambos exponentes. Para ello todo lo que tenemos que notar es que \ (9 = {3^2}\). Esto es lo que obtenemos cuando usamos este hecho.
Graficar funciones exponenciales con fracciones
Los exponentes y las fracciones son suficientemente complicados por sí solos. ¿Por qué tenemos que involucrar a las fracciones con los exponentes? Aunque la resolución de exponentes fraccionarios parece difícil, descomponer y simplificar el proceso hace que sea mucho más fácil de abordar.
Las fracciones con exponentes, también conocidas como potencias de fracciones, son un poco diferentes. Cuando el número base es una fracción en lugar de un número entero, estás multiplicando las fracciones por sí mismas tantas veces como indica el exponente:
La respuesta correcta para una fracción con exponentes será siempre una fracción. El siguiente paso es multiplicar los exponentes. Para poner la fracción en forma decimal, encontrarás el cociente dividiendo una cantidad al cubo entre la otra:
Para resolver fracciones con exponentes, repasa las reglas de los exponentes. Distribuirás el exponente a la fracción completa si se indica. Luego, multiplicarás la fracción completa, la base, por sí misma el número de veces dirigido por el exponente.
Cómo resolver ecuaciones exponenciales con diferentes bases
La primera técnica que presentaremos para resolver ecuaciones exponenciales implica dos funciones con bases similares. Recordemos que la propiedad uno a uno de las funciones exponenciales nos dice que, para cualquier número real b, S y T, donde [latex]b>0,\text{ }b\ne 1[/latex], [latex]{b}^{S}={b}^{T}[/latex] si y sólo si S = T.
En otras palabras, cuando una ecuación exponencial tiene la misma base en cada lado, los exponentes deben ser iguales. Esto también se aplica cuando los exponentes son expresiones algebraicas. Por tanto, podemos resolver muchas ecuaciones exponenciales utilizando las reglas de los exponentes para reescribir cada lado como una potencia con la misma base. A continuación, utilizamos el hecho de que las funciones exponenciales son uno a uno para establecer los exponentes iguales entre sí y resolver la incógnita.
Por ejemplo, consideremos la ecuación [latex]{3}^{4x – 7}=\frac{3}^{2x}{3}[/latex]. Para resolver x, utilizamos la propiedad de división de los exponentes para reescribir el lado derecho de manera que ambos lados tengan la base común 3. A continuación, aplicamos la propiedad uno a uno de los exponentes poniendo los exponentes iguales entre sí y resolviendo para x: