Cómo saber si un sistema de ecuaciones no tiene solución o tiene infinitas
La gráfica es una herramienta útil para resolver sistemas de ecuaciones, pero a veces puede llevar mucho tiempo. Una forma más rápida de resolver los sistemas es aislar una variable en una ecuación y sustituir la expresión resultante para esa variable en la otra ecuación. Observa:
Como 0 = 0 para cualquier valor de x, el sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones. Todo par ordenado (x, y) que satisface y = x + 17 (la ecuación de aislamiento) es una solución del sistema. El sistema es dependiente (y consistente). Las dos ecuaciones describen la misma recta: y = x + 17.
Sistema de ecuaciones lineales con soluciones infinitas
Algunos sistemas lineales pueden no tener solución y otros pueden tener un número infinito de soluciones. Para que un sistema lineal tenga una solución única, debe haber al menos tantas ecuaciones como variables. Aun así, esto no garantiza una solución única.
Recordemos que una ecuación lineal se grafica como una recta, lo que indica que todos los puntos de la recta son soluciones de esa ecuación lineal. Hay un número infinito de soluciones. Como vimos en la última sección, si tienes un sistema de ecuaciones lineales que se cruzan en un punto, este punto es una solución del sistema. ¿Qué ocurre si las líneas no se cruzan nunca, como en el caso de las líneas paralelas? ¿Cómo describirías las soluciones de ese tipo de sistema? En esta sección exploraremos los tres posibles resultados de las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.
Recuerda que la solución de un sistema de ecuaciones es el valor o los valores que se cumplen para todas las ecuaciones del sistema. Hay tres resultados posibles para las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las gráficas de las ecuaciones de un sistema pueden indicar cuántas soluciones existen para ese sistema. Observa las siguientes imágenes. Cada una de ellas muestra dos líneas que componen un sistema de ecuaciones.
Cuándo un sistema de 3 ecuaciones tiene infinitas soluciones
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es un sistema de tres ecuaciones en las tres variables x, y, z. Una solución de un sistema lineal es una asignación de valores a las variables tal que todas las ecuaciones se satisfacen simultáneamente. Una solución del sistema anterior viene dada por la siguiente tripleta ordenada.
En matemáticas, la teoría de los sistemas lineales es la base y una parte fundamental del álgebra lineal, materia que se utiliza en la mayor parte de las matemáticas modernas. Los algoritmos computacionales para encontrar las soluciones son una parte importante del álgebra lineal numérica, y desempeñan un papel destacado en ingeniería, física, química, informática y economía. Un sistema de ecuaciones no lineales a menudo puede aproximarse mediante un sistema lineal (véase linealización), una técnica útil cuando se hace un modelo matemático o una simulación por ordenador de un sistema relativamente complejo.
Cuándo un sistema lineal no tiene solución
De los ejemplos anteriores, podemos ver que la variable x desaparece / se elimina y por lo tanto decimos que la ecuación lineal tendrá cero o ninguna solución si no puede ser satisfecha por cualquier valor de la variable o no existe ningún valor de la variable que hace que la ecuación dada una declaración verdadera.
De los ejemplos anteriores podemos decir que, la ecuación lineal tendrá infinitas soluciones si es satisfecha por cualquier valor de la variable o cada valor de la variable hace que la ecuación dada sea una declaración verdadera.