Fórmula de enfoque de la parábola
Los griegos definieron la parábola utilizando la noción de lugar. Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una condición determinada. Estos puntos suelen estar situados en alguna curva. Por ejemplo, la circunferencia con centro \(O\) y radio \(r\) es el lugar geométrico de un punto \(P\) que se mueve de forma que su distancia al punto \(O\) es siempre igual a \(r\).
La definición del lugar geométrico de la parábola es un poco más complicada. Es muy importante y nos da una nueva forma de ver la parábola. Una de sus muchas aplicaciones es el principio de refección, que veremos en un apartado posterior.
Fijamos un punto en el plano, al que llamaremos foco, y fijamos una recta (que no pasa por el foco), a la que llamaremos directriz. Lo más fácil es tomar la directriz paralela al eje \(x\)-y elegir el origen de forma que sea equidistante del foco y la directriz. Así, tomaremos el foco en \(S(0,a)\Ny la directriz con ecuación \(y=-a\N), donde \N(a > 0\N). Esto es como se muestra en el siguiente diagrama.
Fórmula de la parábola
En matemáticas, una parábola es una curva plana con simetría de espejo y aproximadamente en forma de U. Se ajusta a varias descripciones matemáticas superficialmente diferentes, pero se puede demostrar que todas ellas definen exactamente las mismas curvas.
Una de las descripciones de una parábola implica un punto (el foco) y una línea (la directriz). El foco no se encuentra en la directriz. La parábola es el lugar de los puntos en ese plano que son equidistantes tanto de la directriz como del foco. Otra descripción de una parábola es como una sección cónica, creada a partir de la intersección de una superficie cónica circular recta y un plano paralelo a otro plano que es tangente a la superficie cónica[a].
La línea perpendicular a la directriz y que pasa por el foco (es decir, la línea que divide la parábola por el medio) se llama “eje de simetría”. El punto en el que la parábola se cruza con su eje de simetría se llama “vértice” y es el punto en el que la parábola se curva de forma más pronunciada. La distancia entre el vértice y el foco, medida a lo largo del eje de simetría, es la “distancia focal”. El “latus rectum” es la cuerda de la parábola que es paralela a la directriz y pasa por el foco. Las parábolas pueden abrirse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda, hacia la derecha o en cualquier otra dirección arbitraria. Cualquier parábola puede ser reposicionada y reescalada para encajar exactamente en cualquier otra parábola, es decir, todas las parábolas son geométricamente similares.
Vértice de una parábola
Una parábola es una sección cónica. Es un corte de un cono recto paralelo a un lado (una línea generatriz) del cono. Al igual que el círculo, la parábola es una relación cuadrática, pero a diferencia del círculo, o bien x será cuadrada o bien y será cuadrada, pero no ambas. Trabajaste con parábolas en Álgebra 1 cuando graficaste ecuaciones cuadráticas. Ahora investigaremos la forma cónica de la ecuación de la parábola para aprender más sobre la gráfica de la parábola.
El foco es un punto que se encuentra “dentro” de la parábola en el eje de simetría. La directriz es una línea que está ⊥ al eje de simetría y se encuentra “fuera” de la parábola (no se cruza con la parábola).
y = ax2 + bx + c de su estudio de las cuadráticas. Y, por supuesto, éstas siguen siendo formas populares de ecuación de una parábola. Pero, si examinamos una parábola en relación con su punto focal (foco) y su directriz, podemos determinar más información sobre la parábola. Ahora vamos a examinar más detenidamente el coeficiente del término x2 para ver qué información adicional nos puede decir sobre la gráfica de la parábola. Ten en cuenta que toda la información que ya conoces sobre las parábolas sigue siendo cierta.
Ecuación de la hipérbola
Una parábola es el conjunto de todos los puntos \( M(x,y)\Nde un plano tales que la distancia de \( M \) a un punto fijo \( F \N) llamado foco es igual a la distancia de \( M \Na una recta fija llamada directriz como se muestra en la gráfica.
1 – Inicie con los valores por defecto \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) el botón “Plot Equation”. Pase el cursor del mousse por encima de la gráfica para trazar y leer las coordenadas de los puntos de la gráfica, en el foco F o en el vértice V.
a) Utilice los valores de \( p = 1, h = 2 \) y \( k = 3 \) y calcule las coordenadas del foco \( F \), del vértice \( V \) y la ecuación de la directriz y compárelos con los valores de la gráfica.
b) Selecciona un punto \( M \) de la parábola y halla la distancia \( MF \) y compárala con la distancia de \( M \) a la directriz.(ver definición de parábola más arriba). ¿Son iguales?(o cercanas)
c) Establece los valores \( p = 4, h = 1 \) y \( k = – 4 \) en la aplicación anterior y luego lee y comprueba la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco \( F \) y del vértice \( V \) y la ecuación de la directriz.