Plano tangente Wolfram
La recta tangente a la curva \(y=f(x)\Nen el punto \Nbig(x_0,f(x_0)\Nbig)\Nes la recta que mejor se ajusta a la curva 1 en ese punto. Encontrar rectas tangentes fue probablemente una de las primeras aplicaciones de las derivadas que viste. Véase, por ejemplo, el Teorema 2.3.2 en el texto de CLP-1. El análogo de la recta tangente en una dimensión superior es el plano tangente. El plano tangente a una superficie \(S\) en un punto \((x_0,y_0,z_0)\) es el plano que mejor se ajusta a \(S\) en \((x_0,y_0,z_0)\text{.}) Por ejemplo, el plano tangente a la semiesfera
Vamos a determinar ahora, como primera aplicación de las derivadas parciales, el plano de tangencia a una superficie general \(S\) en un punto general \((x_0,y_0,z_0)\Nsituado en la superficie. También determinaremos la recta que pasa por \((x_0,y_0,z_0)\Ny cuya dirección es perpendicular a \N(S\) en \N(x_0,y_0,z_0)\Ntexto. Se llama la línea normal a \(S\) en \((x_0,y_0,z_0)\text{.}\}
Ya tenemos un punto que se encuentra tanto en el plano tangente de interés y la línea normal de interés – a saber, \(\big(x_0,y_0,z_0\big)\text{.}\} Además podemos utilizar cualquier vector (no nulo) que sea perpendicular a \(S\) en \((x_0,y_0,z_0)\) como vector normal al plano tangente y como vector de dirección de la línea normal.
Encuentra la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas de este sitio, es mejor verlo en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado de su dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
Anteriormente vimos cómo las dos derivadas parciales \({f_x}\) y \({f_y}\) pueden ser consideradas como las pendientes de las trazas. En esta sección queremos ampliar un poco esta idea. La gráfica de una función (z = f_izquierda( {x,y} derecha) es una superficie en el espacio tridimensional, por lo que podemos empezar a pensar en el plano que es “tangente” a la superficie como un punto.
Empecemos con un punto \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\ y dejemos que \({C_1}) represente la traza a \left( {x,y} \right)\ para el plano \ y = {y_0}) (es decir (es decir, permitiendo que \Nx varíe con \Ny se mantenga fijo) y dejaremos que \N({C_2}) represente la traza de \N(f\left( {x,y} \right)\N para el plano \N(x = {x_0}) (es decir, permitiendo que \Ny varíe con \Nx) se mantenga fijo). Ahora bien, sabemos que \({f_x}izquierda( {{x_0},{y_0}} derecha)\Nes la pendiente de la recta tangente a la traza \N({C_1}) y \N({f_y}izquierda( {{x_0},{y_0} derecha)\Nes la pendiente de la recta tangente a la traza \N({C_2}). Así pues, sea \N({L_1}\Nla recta tangente a la traza \N({C_1}\N) y sea \N({L_2}\Nla recta tangente a la traza \N({C_2}\N).
Fórmula del plano tangente
Ejemplos básicos (2) Devolver la ecuación del plano tangente a una superficie:In[1]:=Out[1]=Visualizar el plano tangente:In[2]:=Out[2]=Calcular las pendientes del plano tangente respecto a x e y: In[3]:=Out[3]=Obtener una asociación de propiedades de un plano tangente a una superficie:In[4]:=Out[4]=Alcance (2) El primer argumento de TangentPlane puede ser una definición implícita de una superficie:In[5]: =Out[5]=TangentPlane también puede devolver ecuaciones o pendientes de superficies definidas en 4 dimensiones:In[6]:=Out[6]=Aspectos posibles (2) Si las coordenadas están subespecificadas, se devuelve información sobre sólo uno de los posibles planos tangentes en los valores de coordenadas dados:In[7]:=Out[7]=Solicitar información del plano tangente sobre un punto que no está en la superficie dará lugar a un mensaje de error:In[8]:=Out[8]=
Planos tangentes y diferenciales
En esta sección, consideramos el problema de encontrar el plano tangente a una superficie, que es análogo a encontrar la ecuación de una recta tangente a una curva cuando la curva está definida por la gráfica de una función de una variable, y=f(x).y=f(x). La pendiente de la recta tangente en el punto x=ax=a viene dada por m=f′(a);m=f′(a); ¿cuál es la pendiente de un plano tangente? Aprendimos sobre la ecuación de un plano en Ecuaciones de Líneas y Planos en el Espacio; en este apartado, vemos cómo se puede aplicar al problema que nos ocupa.
Intuitivamente, parece claro que, en un plano, sólo una línea puede ser tangente a una curva en un punto. Sin embargo, en el espacio tridimensional, muchas rectas pueden ser tangentes a un punto determinado. Si estas rectas se encuentran en el mismo plano, determinan el plano tangente en ese punto. Un plano tangente a un punto regular contiene todas las rectas tangentes a ese punto. Una forma más intuitiva de pensar en un plano tangente es suponer que la superficie es lisa en ese punto (sin esquinas). Entonces, una línea tangente a la superficie en ese punto en cualquier dirección no tiene cambios bruscos de pendiente porque la dirección cambia suavemente.