Cómo obtener ecuaciones paramétricas
54) Un avión que viaja horizontalmente a 100 m/s sobre un terreno plano a una altura de 4000 metros debe dejar caer un paquete de emergencia sobre un objetivo en el suelo. La trayectoria del paquete viene dada por \(\displaystyle x=100t,y=-4.9t^2+4000,t≥0\) donde el origen es el punto en el suelo justo debajo del avión en el momento de la suelta. ¿Cuántos metros horizontales antes del objetivo debe soltar el paquete para dar en el blanco?
55) La trayectoria de una bala viene dada por \(\displaystyle x=v_0(cosα)ty=v_0(sinα)t-\frac{1}{2}gt^2\) donde \(\displaystyle v_0=500m/s, g=9,8=9,8m/s^2\), y \(\displaystyle α=30degrees.\) ¿Cuándo llegará la bala al suelo? ¿A qué distancia de la pistola llegará la bala al suelo?
Solución: \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}\) y \(\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=0\), por lo que la curva no es ni cóncava hacia arriba ni cóncava hacia abajo en \(\displaystyle t=3\). Por tanto, la gráfica es lineal y tiene una pendiente constante pero no concavidad.
56) Demuestra que la longitud total de la elipse \(\displaystyle x=4sinθ,y=3cosθ\) es \(\displaystyle L=16∫^{π/2}_0\sqrt{1-e^2sin^2θ}dθ\), donde \(\displaystyle e=\frac{c}{a}\) y \(\displaystyle c=\sqrt{a^2-b^2}\).
Ecuación paramétrica de la línea recta en 3d
Sólo tienes que introducir las coordenadas (x1, y1) (x2, y2) de cada uno de los puntos conocidos y pulsar el botón calcular para obtener el resultado. Si quieres saber cómo encontrar la ecuación de la recta y ver ejercicios resueltos para cada caso, sigue leyendo a continuación.
En este caso resolver el problema es bastante sencillo ya que sólo tenemos que sustituir la ecuación y simplificarla al máximo. Para ver cómo se hace, haremos un ejercicio en el que se nos pide que calculemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (4, 5) y (2, 1):
Para saber si un punto pertenece a una recta determinada simplemente tenemos que coger la ecuación de esa recta y sustituir en ‘x’ e ‘y’ los valores del punto que nos dan. Si se cumplen las igualdades, el punto pertenecerá a la recta y si no se cumplen, entonces no.
Ecuación paramétrica de la parábola
\( \vecd{PQ} = \langle -2, 3, -3 \rangle\) es el vector dirección de la recta que pasa por los puntos \(P\) y \(Q\), y el vector dirección de la recta definida por las ecuaciones paramétricas anteriores es \(\vecs v = \langle 3, 8, 6 \rangle.\)
Resolviendo este sistema mediante sustitución obtenemos, \(u = -3\) y \(t = 3\). Introduciendo estos valores de \(t\) y \(u\) en las ecuaciones paramétricas de estas dos rectas nos da el punto de intersección con coordenadas \(\left(9, -8, 9\right)\) en ambas rectas.
51) Dos niños están jugando con una pelota. La niña lanza la pelota al niño. La pelota viaja en el aire, se curva \( 3\) pies hacia la derecha, y cae \( 5\) pies lejos de la niña (ver la siguiente figura). Si el plano que contiene la trayectoria de la pelota es perpendicular al suelo, encuentra su ecuación.
53) [T] Considera que \(\vecs r(t)=⟨sin t,\cos t,2t⟩\\Nel vector posición de una partícula en el tiempo \( t∈[0,3]\N), donde las componentes de \(\vecs r\Nse expresan en centímetros y el tiempo se mide en segundos. Sea \( \vecd{OP}\) el vector de posición de la partícula después de \( 1\) seg.
Ecuación paramétrica de una línea en 2d
Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio es mejor verlas en modo apaisado. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.
En esta sección tenemos que echar un vistazo a la ecuación de una línea en \ ({\mathbb{R}^3}\). Como hemos visto en la sección anterior la ecuación \ (y = mx + b\) no describe una línea en \({\mathbb{R}^3}), en su lugar describe un plano. Sin embargo, esto no significa que no podamos escribir una ecuación para una recta en el espacio tridimensional. Sólo vamos a necesitar una nueva forma de escribir la ecuación de una curva.
Así que, antes de entrar en las ecuaciones de las rectas, tenemos que ver brevemente las funciones vectoriales. Más adelante profundizaremos en las funciones vectoriales. En este punto, lo único que nos debe preocupar son las cuestiones notacionales y cómo se pueden utilizar para dar la ecuación de una curva.