Ecuación de la línea y el plano
0,-, donde ≠0.Sea cual sea la forma de la ecuación, los dos datos clave que definen una recta son su vector de dirección y uno de sus puntos. Veamos cómo funciona el razonamiento en 2D antes de pasar a las tres dimensiones (3D).Si tenemos una recta de vector dirección ⃑=(1,)
las coordenadas del punto cuando =0.Este conjunto de tres ecuaciones se llama las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio. Como hay infinitos puntos que se encuentran en la recta y cualquier vector
+∞, no hay ninguna limitación), y todas ellas definen inequívocamente la misma recta.Definición: Ecuaciones paramétricas de una recta en el espacioLas ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio son un conjunto no único de tres ecuaciones de la forma
número real (el parámetro) que varía de -∞ a +∞.Veamos el primer ejemplo.Ejemplo 1: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dado un punto y su vector de direcciónDar la ecuación paramétrica de la recta en el punto (2,-4,4),
=3+,=-5-,=9+5.Hallemos ahora las ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por dos puntos dados.Ejemplo 2: Hallar la ecuación paramétrica de una recta dados dos puntosEscribimos la ecuación de la recta que pasa por los puntos
Ecuación de una línea en 3d
En geometría, la noción de línea o recta fue introducida por los matemáticos antiguos para representar objetos rectos (es decir, sin curvatura) con anchura y profundidad despreciables. Las líneas son una idealización de tales objetos, que a menudo se describen en términos de dos puntos (por ejemplo,
Hasta el siglo XVII, las líneas se definían como la “primera especie de cantidad, que sólo tiene una dimensión, la longitud, sin anchura ni profundidad, y no es otra cosa que el flujo o recorrido del punto que dejará de su movimiento imaginario algún vestigio en longitud, exento de toda anchura. La línea recta es aquella que se extiende igualmente entre sus puntos”[2].
Euclides describió una línea como “longitud exenta de anchura” que “se extiende igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma”; introdujo varios postulados como propiedades básicas indemostrables a partir de las cuales construyó toda la geometría, que ahora se llama geometría euclidiana para evitar la confusión con otras geometrías que se han introducido desde finales del siglo XIX (como la geometría no euclidiana, proyectiva y afín).
Ecuación cartesiana de la recta
En el cálculo monovariable aprendemos que una función diferenciable es localmente lineal. En otras palabras, si ampliamos la gráfica de una función diferenciable en un punto, la gráfica se parece a la recta tangente a la función en ese punto. Las funciones lineales desempeñan un papel importante en el cálculo monovariable, ya que son útiles para aproximar funciones diferenciables, para aproximar raíces de funciones (véase el método de Newton) y para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales de primer orden (véase el método de Euler). En el cálculo multivariable, pronto estudiaremos curvas en el espacio; las curvas diferenciables resultan ser también localmente lineales. Además, al estudiar funciones de dos variables, veremos que dicha función es localmente lineal en un punto si la superficie definida por la función se parece a un plano (el plano tangente) al acercarnos a la gráfica.
Por lo tanto, es importante que entendamos tanto las rectas como los planos en el espacio, ya que éstos definen las funciones lineales en \N(\R^2) y \N(\R^3text{.}) (Recordemos que una función es lineal si es una función polinómica cuyos términos tienen todos grado menor o igual a 1. Por ejemplo, \(x\) define una función lineal de una variable y \(x+y\) una función lineal de dos variables, pero \(xy\) no es lineal ya que tiene grado dos, la suma de los grados de sus factores). Comenzamos nuestro trabajo considerando algunas ideas conocidas en \(\R^2\) pero desde una nueva perspectiva.
Ecuación vectorial de la línea a la cartesiana
En este explicador, aprenderemos a encontrar las formas cartesiana y vectorial de la ecuación de una recta en el espacio.Cuando estamos considerando ecuaciones en el espacio, tenemos coordenadas en tres dimensiones, como (,,), en lugar de en dos dimensiones como (,).En la forma vectorial, consideramos que una línea está definida por cualquier punto de la línea y una dirección. Para encontrar una ecuación que represente
vector del punto inicial, , del vector de posición del punto terminal, . Para ello, restamos cada uno de los componentes -, – y – del vector de posición de del vector de posición de . Veamos un ejemplo de cómo podemos hacerlo.Ejemplo 2: Hallar el vector dirección de una recta dados dos puntosHallar el vector dirección de la recta que pasa por (1,-2,7) y (4,-1,3).Respuesta El vector dirección de una recta es un vector no nulo paralelo a la recta. Para encontrar el vector de dirección, ⃑,
(3,1,-4).Como nota al margen, no se nos dio específicamente el vector de dirección como ; por lo tanto, el vector =(-3,-1,4) también habría sido un vector de dirección válido. De hecho, cualquier múltiplo no nulo de cualquiera de estos vectores de dirección sería correcto.A menudo necesitamos encontrar el punto medio de una línea que une dos puntos en el espacio. Podemos hacerlo mediante el mismo proceso