Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales parciales en la vida real
Visualización de la transferencia de calor en la carcasa de una bomba, creada mediante la resolución de la ecuación del calor. El calor se genera internamente en la carcasa y se enfría en la frontera, proporcionando una distribución de temperatura en estado estacionario.
En matemáticas, una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones desconocidas y sus derivadas[1] En las aplicaciones, las funciones generalmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define una relación entre ambas. Estas relaciones son comunes; por lo tanto, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel destacado en muchas disciplinas, como la ingeniería, la física, la economía y la biología.
El estudio de las ecuaciones diferenciales consiste principalmente en el estudio de sus soluciones (el conjunto de funciones que satisfacen cada ecuación), y de las propiedades de sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas pueden resolverse mediante fórmulas explícitas; sin embargo, muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin calcularlas exactamente.
Aplicación de la ecuación diferencial de primer orden en la vida real
Los estudiantes de grado superior y de postgrado en Matemáticas, Física e Ingeniería encontrarán este volumen particularmente útil, tanto para el estudio independiente como para la lectura complementaria. Si bien muchos problemas pueden resolverse a nivel de licenciatura, también se han incluido varias aplicaciones desafiantes de la vida real como una forma de motivar una mayor investigación en este vasto y fascinante campo.
Consideremos la ecuación diferencial lineal de primer orden \(y’+p(t)y~=~q(t),~~~’=\frac{d~}{dt}\) donde las funciones p y q son continuas en un intervalo abierto \(I=(\alpha ,\beta )\) [1]. Podemos encontrar la solución general de (1.1) en términos de las funciones conocidas p y q multiplicando ambos lados de (1.1) por un factor integrador \(e^{P(t)}\), donde P(t) es una función tal que \(P'(t)=p(t)\).
Ciertas ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales pueden reducirse a ecuaciones lineales mediante un cambio de variables apropiado [1, 2]. Por ejemplo, siempre es posible para la ecuación de James (Jacob) Bernoulli (1654-1705) \(y’+p(t)y~=~q(t)y^n,~~n\ne 0,~1.\) En (2.1), se excluyen \(n=0\) y 1 porque en estos casos la Ec. (2.1) es obviamente lineal.
Tipos de ecuaciones diferenciales
Para aplicar los métodos matemáticos a un problema físico o de la “vida real”, debemos formular el problema en términos matemáticos; es decir, debemos construir un modelo matemático para el problema. Muchos problemas físicos se refieren a relaciones entre cantidades cambiantes. Dado que las tasas de cambio se representan matemáticamente mediante derivadas, los modelos matemáticos suelen incluir ecuaciones que relacionan una función desconocida y una o varias de sus derivadas. Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales. Son el objeto de este libro.
Gran parte del cálculo se dedica a aprender técnicas matemáticas que se aplican en cursos posteriores de matemáticas y ciencias; no tendría tiempo de aprender mucho cálculo si insistiera en ver una aplicación específica de cada tema cubierto en el curso. Del mismo modo, gran parte de este libro se dedica a métodos que pueden aplicarse en cursos posteriores. Sólo una parte relativamente pequeña del libro se dedica a la derivación de ecuaciones diferenciales específicas a partir de modelos matemáticos, o a relacionar las ecuaciones diferenciales que estudiamos con aplicaciones específicas. En esta sección mencionamos algunas de esas aplicaciones. El modelo matemático para un problema aplicado es casi siempre más simple que la situación real que se estudia, ya que normalmente se requieren suposiciones simplificadoras para obtener un problema matemático que pueda ser resuelto. Por ejemplo, al modelar el movimiento de un objeto que cae, podríamos despreciar la resistencia del aire y la atracción gravitatoria de los cuerpos celestes distintos de la Tierra, o al modelar el crecimiento de la población podríamos suponer que la población crece de forma continua en lugar de en pasos discretos.
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