Calculadora de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con pasos
Anteriormente, estudiamos una aplicación de una ecuación diferencial de primer orden que implicaba resolver la velocidad de un objeto. En particular, si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de \( v_0\) pies/s, entonces un problema de valor inicial que describe la velocidad de la pelota después de \( t\) segundos está dado por
La resistencia del aire siempre actúa en la dirección opuesta al movimiento. Por lo tanto, si un objeto está subiendo, la resistencia del aire actúa en dirección descendente. Si el objeto está cayendo, la resistencia del aire actúa en dirección ascendente (Figura \( \PageIndex{1}\)). No existe una relación exacta entre la velocidad de un objeto y la resistencia del aire que actúa sobre él. Para objetos muy pequeños, la resistencia del aire es proporcional a la velocidad; es decir, la fuerza debida a la resistencia del aire es numéricamente igual a alguna constante \( k\) por \( v\). Para objetos más grandes (por ejemplo, del tamaño de una pelota de béisbol), dependiendo de la forma, la resistencia del aire puede ser aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, la resistencia del aire puede ser proporcional a \( v^{1,5}\), o \( v^{0,9}\), o alguna otra potencia de \( v\).
Solucionador de ecuaciones diferenciales
Este artículo trata de las ecuaciones diferenciales lineales con una variable independiente. Para ecuaciones similares con dos o más variables independientes, véase Ecuación diferencial parcial § Ecuaciones lineales de segundo orden.
Una ecuación de este tipo es una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación diferencial lineal también puede ser una ecuación diferencial parcial lineal (EDP), si la función desconocida depende de varias variables, y las derivadas que aparecen en la ecuación son derivadas parciales.
Una ecuación diferencial lineal o un sistema de ecuaciones lineales tal que las ecuaciones homogéneas asociadas tienen coeficientes constantes puede resolverse por cuadratura, lo que significa que las soluciones pueden expresarse en términos de integrales. Esto también es cierto para una ecuación lineal de orden uno, con coeficientes no constantes. Una ecuación de orden dos o superior con coeficientes no constantes no puede, en general, resolverse por cuadratura. Para el orden dos, el algoritmo de Kovacic permite decidir si hay soluciones en términos de integrales, y calcularlas si las hay.
Problemas y soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden pdf
donde P y Q son funciones de x. El método para resolver tales ecuaciones es similar al utilizado para resolver ecuaciones no exactas. Allí, la ecuación no exacta se multiplicaba por un factor integrador, lo que facilitaba su resolución (porque la ecuación se convertía en exacta).
En lugar de tener x como variable independiente e y como dependiente, en este problema t es la variable independiente y x es la dependiente. Así, la solución no será de la forma “y = alguna función de x” sino que será “x = alguna función de t”.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Aquí, \(F\) es una función de tres variables que etiquetamos \(t\), \(y\), y \(\dot{y}\). Se entiende que \(\dot{y}\) aparecerá explícitamente en la ecuación aunque \(t\) y \(y\) no necesitan. El término “primer orden” significa que la primera derivada de \(y\) aparece, pero ninguna derivada de orden superior lo hace.
La ecuación general de primer orden es demasiado general, es decir, no podemos describir métodos que funcionen con todas, o incluso con una gran parte de ellas. Podemos avanzar con tipos específicos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Por ejemplo, se puede decir mucho sobre ecuaciones de la forma \(\dot{y} = \phi (t, y)\) donde \(\phi \) es una función de las dos variables \(t\) y \(y\). Bajo condiciones razonables sobre \(\phi\), dicha ecuación tiene solución y el correspondiente problema de valor inicial tiene una solución única. Sin embargo, en general, estas ecuaciones pueden ser muy difíciles o imposibles de resolver explícitamente.
Consideremos este ejemplo específico de un problema de valor inicial para la ley de enfriamiento de Newton: \(\dot y = 2(25-y)\), \(y(0)=40\). Observamos en primer lugar que si \(y(t_0) = 25\), el lado derecho de la ecuación diferencial es cero, por lo que la función constante \(y(t)=25\) es una solución de la ecuación diferencial. No es una solución del problema de valor inicial, ya que \(y(0)\ no=40\). (La interpretación física de esta solución constante es que si un líquido está a la misma temperatura que su entorno, entonces el líquido permanecerá a esa temperatura). Mientras \(y\) no sea 25, podemos reescribir la ecuación diferencial como