Resolución de ecuaciones lineales con MATLAB
Una matriz m × n: las m filas son horizontales y las n columnas son verticales. Cada elemento de una matriz se suele denotar con una variable con dos subíndices. Por ejemplo, a2,1 representa el elemento de la segunda fila y la primera columna de la matriz.
En matemáticas, una matriz (matrices en plural) es una matriz o tabla rectangular de números, símbolos o expresiones, dispuestos en filas y columnas, que se utiliza para representar un objeto matemático o una propiedad de dicho objeto.
Sin más especificaciones, las matrices representan mapas lineales y permiten realizar cálculos explícitos en álgebra lineal. Por lo tanto, el estudio de las matrices es una gran parte del álgebra lineal, y la mayoría de las propiedades y operaciones del álgebra lineal abstracta pueden expresarse en términos de matrices. Por ejemplo, la multiplicación de matrices representa la composición de mapas lineales.
No todas las matrices están relacionadas con el álgebra lineal. Este es, en particular, el caso en la teoría de grafos, de las matrices de incidencia y de las matrices de adyacencia[1] Este artículo se centra en las matrices relacionadas con el álgebra lineal y, a menos que se especifique lo contrario, todas las matrices representan mapas lineales o pueden verse como tales.
Resolución de un sistema mediante la ecuación matricial, AX=B, ejemplo 1
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Después de unas cuantas lecciones en las que hemos mencionado repetidamente que estamos cubriendo los fundamentos necesarios para aprender después a resolver sistemas de ecuaciones lineales, ha llegado el momento de que nuestra lección se centre en la metodología completa a seguir para encontrar las soluciones de dichos sistemas.
Cálculos matriciales con la calculadora Casio fx991ES PLUS
El propósito de este artículo es describir cómo se encuentran realmente las soluciones de un sistema lineal. La idea fundamental es añadir múltiplos de una ecuación a las otras para eliminar una variable y continuar este proceso hasta que sólo quede una variable. Una vez determinada esta última variable, su valor se vuelve a sustituir en las otras ecuaciones para evaluar las incógnitas restantes. Este método, caracterizado por la eliminación paso a paso de las variables, se denomina eliminación gaussiana.
Esta ecuación final, -5 y = -5, implica inmediatamente y = 1. La sustitución inversa de y = 1 en la primera ecuación original, x + y = 3, da como resultado x = 2. (La sustitución inversa de y = 1 en la segunda ecuación original, 3 x – 2 y = 4, también daría como resultado x = 2). La solución de este sistema es, por tanto, (x, y) = (2, 1), tal y como se indicó en el ejemplo 1.
La eliminación gaussiana suele realizarse mediante matrices. Este método reduce el esfuerzo para encontrar las soluciones al eliminar la necesidad de escribir explícitamente las variables en cada paso. El ejemplo anterior se rehará utilizando matrices.
Una solución única, Ninguna solución, o Infinitas soluciones | Ax=b
ResumenDemostramos que el operador discreto derivado de la discretización espacio-temporal de las ecuaciones diferenciales parciales evolutivas puede representarse en términos de una única ecuación matricial de Sylvester. Se propone una novedosa estrategia de solución que combina técnicas de proyección con la plena explotación de la estructura de entradas de las matrices de coeficientes implicadas. El esquema resultante es capaz de resolver eficientemente problemas con un tremendo número de grados de libertad manteniendo una baja demanda de almacenamiento como se ilustra en varios ejemplos numéricos.
donde \(T_m=W_m^T K_1W_m\), \(H_m=Q_m^T K_1Q_m\), \([\pmb {\phi }_u_0},\varPhi _f]=Q_1\pmb {\alpha }\), \(\pmb {\alpha }\in \mathbb {R}^{2(q+1)\times (q+1)}\n), y \([\pmb {\psi }_{u_0},\varPsi _f]=W_1\pmb {\beta }\), \(\pmb {\beta }\in \mathbb {R}^{2(r+1)\times (r+1)}). El cálculo de la norma residual barata (4. 3) no tiene una contrapartida directa de la forma \(\Vert R_m\Vert _F=\tau \Vert E_{m+1}^T({{subrayado{T}}_m\a veces I_{2m(q+1)}+I_{2m(r+1)}\a veces {{subrayado{H}}_m)Y_m \Vert _F), \({subrayado{T}}m=W_{m+1}^TK_1W_m\), \({subrayado{H}}m=Q_{m+1}^T K_1Q_m\), en nuestra configuración actual. En la siguiente proposición se deriva un procedimiento diferente, aunque barato, para calcular la norma residual a bajo coste.