Ejercicios de ecuaciones bicadráticas
*Nota: Hay otro enfoque que escribe los términos en orden creciente de la potencia de x. Esto tiene cierto atractivo porque así escribimos series de potencias. Tendrás que elegir cuál te conviene.
Las funciones polinómicas (normalmente decimos simplemente “polinomios”) se utilizan para modelar una gran variedad de fenómenos reales. En física y química, en particular, conjuntos especiales de funciones polinómicas con nombre, como los polinomios de Legendre, Laguerre y Hermite (¡menos mal que son franceses!), son la solución de algunos problemas muy importantes.
Es importante que te hagas experto en trazar las gráficas de las funciones polinómicas y encontrar sus ceros (raíces), y que te familiarices con las formas y otras características de sus gráficas.
Puedes comprobarlo tú mismo haciendo una hoja de cálculo rápida. Pon una columna x y rellénala con valores enteros del 1 al 10, luego calcula el valor de cada término (4 columnas más) a medida que x crece. Súmalos y añade el término constante (22) para encontrar el valor del polinomio. El término principal es el que crece más rápidamente. Esto es lo que quiero decir:
Hoja de trabajo de factorización de polinomios de grado superior
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where \(a,b,c\) are known values, \(a \ne 1\), and \(x\) is some unknown variable. It has degree of 2 since the quadratic polynomial has degree 2 (i.e. highest exponent of all monomials in the polynomial is 2: \(x^2\)).
Recall the methods we can use to solve quadratic equations such as factoring or using the quadratic formula (review these on the Solving Quadratic Equations page). These only work for solving quadratic equations, but what if we wanted to solve equations of higher degrees (i.e. degree 3 or higher)?
To solve higher degree equations, we can use substitution to convert the given equation into a quadratic equation, then solve the quadratic equation to determine the solutions to the original equation.
<a rel=”license” href=”http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/”><img alt=”Creative Commons License” style=”border-width:0″ src=”https://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88×31.png” /></a><br />Designed by Matthew Cheung. This work is licensed under a <a rel=”license” href=”http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/”>Creative Commons Attribution 4.0 International License</a>.
Solucionador de ecuaciones bicadráticas
Primero resolveremos algunas ecuaciones cuadráticas utilizando la propiedad del producto cero. La propiedad del producto cero dice que si el producto de dos cantidades es cero, entonces al menos una de las cantidades es cero. La única manera de obtener un producto igual a cero es multiplicar por el propio cero.
La propiedad del producto cero funciona muy bien para resolver ecuaciones cuadráticas. La ecuación cuadrática debe ser factorizada, con el cero aislado en un lado. Así que debemos asegurarnos de empezar con la ecuación cuadrática en forma estándar, ax2+bx+c=0.ax2+bx+c=0. Luego debemos factorizar la expresión de la izquierda.
En el siguiente ejemplo, el lado izquierdo de la ecuación está factorizado, pero el lado derecho no es cero. Para utilizar la propiedad del producto cero, un lado de la ecuación debe ser cero. Multiplicaremos los factores y luego escribiremos la ecuación en forma estándar.
La propiedad del producto cero también se aplica al producto de tres o más factores. Si el producto es cero, al menos uno de los factores debe ser cero. Podemos resolver algunas ecuaciones de grado mayor que dos utilizando la Propiedad del Producto Cero, al igual que resolvimos ecuaciones cuadráticas.
Describe cómo resolver las raíces de una ecuación
En un ejercicio te piden que uses la regla de Ruffini. Estás a punto de hacerlo, pero te das cuenta de que no sabes ni cómo empezar. Has visto a tu profesor en clase hacerlo varias veces, pero ahora no sabes cómo conozco el método de Ruffini
Para resolver las ecuaciones de primer grado utilizamos un método, para las de segundo grado utilizamos otro método y para resolver las ecuaciones de tercer grado o mayores, o lo que es lo mismo, para las ecuaciones de más de dos grados, utilizamos el método de Ruffini.
Lo que nos queda en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número a la izquierda de 0 tiene grado 0 y es creciente de 1 en 1 a la izquierda. En este caso, tenemos el equivalente a tener esta ecuación:
Esta vez, el número que tenemos que colocar a la izquierda de la línea vertical es el 2 (la a del binomio x-a) y no tenemos que preocuparnos de si tenemos un cero en la última columna o no. El resultado será el resto de la división: